KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवम सर्वसमिकाए ( Trigonometry Ratios and Identities ) Exercise 8.1 (Q51-56)

 Exercise 8.1

Question 51

यदि 7 sin A+24 cos A=25, तब tan A का मान निकालिए ।

Sol :

7 sin A+24 cos A=25

दोनों तरफ cos A से भाग देने पर

$3 \times \frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}+24 \frac{\cos \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}=\frac{25}{\cos \mathrm{A}}$

7 tan A+24=$25 \times \frac{1}{\cos A}$

7 tan A+24=25 sec A

7 tan A+24=$25 \sqrt{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर

$(7 \tan A+24)^{2}=\left(25 \sqrt{1+\tan ^{2}} A\right)^{2}$

$(7 \tan A)^{2}+(24)^{2}+2 \times 24 \times 7 \tan A=625\left(1+\tan ^{2} A\right)$

$49 \tan ^{2} \mathrm{~A}+576+336 \tan \mathrm{A}=625+625 \tan ^{2} \mathrm{~A}$

$49 \tan ^{2} A+336 \tan A+576-625-625 \tan ^{2} A=0$

$-576 \tan ^{2} A+336 \tan A-49=0$

$576 \tan ^{2} A-336 \tan A+49=0$

$(24 \tan A)^{2}-2 \times 7 \times 24 \times \tan A+(7)^{2}=0$

$(24 \tan \mathrm{A}-7)^{2}=0=24 \tan \mathrm{A}-7=0$

$24 \tan \mathrm{A}=7=\tan \mathrm{A}=\frac{7}{24}$

Question 52

यदि 9 sin θ+40 cos θ=41, तब cos θ और cosec θ के मान ज्ञात करें । 

Sol :

9 sin θ+40 cos θ=41

दोनों तरफ cos θ से भाग देने पर

$9 \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}+40 \frac{\cos A}{\cos A}=\frac{41}{\cos \theta}$

9 tanθ+40=$=41 \times \frac{41}{\cos~ \theta}$

9 tan θ+40=41 secθ

$9 \tan \theta+40=41 \sqrt{1+\tan ^{2} \theta}$

दोनों तरफ वर्ग करनें पर

$(9 \tan \theta+40)^{2}=\left(41 \sqrt{1+\tan ^{2}} \theta\right)^{2}$

$(9 \tan \theta)^{2}+(40)^{2}+2 \times 40 \times 9 \tan \theta=1681\left(1+\tan ^{2} \theta\right)$

$81 \tan ^{2} \theta+1600+720 \tan \theta=1681+1681 \tan ^{2} \theta$

$81 \tan ^{2} \theta+1600+720 \tan \theta-1681-1681 \tan ^{2} \theta=0$

$-1600 \tan ^{2} \theta+720 \tan \theta-81=0$

$1600 \tan ^{2} \theta-720 \tan \theta+81=0$

$(40 \tan \theta)^{2}-2 \times 9 \times 40 \times \tan \theta+(9)^{2}=0$

$(40 \tan \theta-9)^{2}=0$

$40 \tan \theta-9=0$

$40 \tan \theta=9$

$\tan \theta=\frac{9}{40}$=लम्ब/आधार

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(9)^{2}+(40)^{2}}$

$A C=\sqrt{81+1600}$

AC=1681

cosec θ=कर्ण/लम्ब$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{41}{9}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{40}{41}$

Question 53

यदि tan A+sec A=3, तब sin A का मान बताइये ।

Sol :

sec A-tan A=3....(i)

हम जानते है:

$\sec ^{2} \mathrm{~A}-\tan ^{2} \mathrm{~A}=1$

(sec A-tan A)(sec A+tan A)=1

(sec A-tan A)3=1

$\sec A-\tan A=\frac{1}{3}$....(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

sec A+tan A=3

sec A-tan A$=\frac{1}{3}$

$2secA=3+\frac{1}{3}$

$2 \sec A=\frac{9+1}{3}$

$\sec A=\frac{10}{3 \times 2}$

$\sec A=\frac{5}{3}$

sec A=कर्ण/आधार$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{3}$

$B C=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}$

$B C=\sqrt{(5)^{2}-(3)^{2}}$

$B C=\sqrt{25-9}$

$B C=\sqrt{16}$

BC=4

sin A=लम्ब\कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}$

Question 54

यदि cosec A+cot A=5, तब cos A का मूल्य मालूम कीजिए ।

Sol :

cosec A+cot A=5...(i)

हम जानते है

$\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}-\cot ^{2} \mathrm{~A}=1$

(cosec A-cot A)(cosec A+cot A)=1

(cosecA-cotA)5=1

$\operatorname{cosec} A-\cot A=\frac{1}{5}$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

cosec A+cot A=5

cosec A-cot A$=\frac{1}{5}$

$2 \operatorname{cosec} A=5+\frac{1}{5}$

$2 \operatorname{cosec} A=\frac{25+1}{5}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{26}{5 \times 2}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{13}{5}$

cosec A=कर्ण/लम्ब$=\frac{A C}{B C}=\frac{13}{5}$

$AB=\sqrt{(A C)^{2}-(B C)^{2}}$

$AB=\sqrt{(13)^{2}-(5)^{2}}$

$AB=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}$

AB=12

cos A=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{12}{13}$

Question 55

यदि tan θ+sec θ=x , तो सिद्ध करें कि $\sin \theta=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ 

Sol :

tan θ+sec θ=x...(i)

हम जानते है:

$\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta=1$

(sec θ-tan θ)(sec θ+tan θ)=1

(sec θ-tan θ)x=1

sec θ-tan θ$=\frac{1}{x}$...(ii)

sec θ+tan θ=x

sec θ-tan θ$=\frac{1}{x}$

2sec θ$=\mathrm{x}+\frac{1}{x}$

2sec θ$=\frac{x^{2}+1}{x}$

sec θ$=\frac{x^{2}+1}{2 x}$

sec θ=कर्ण/आधार$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{x^{2}+1}{2 x}$

$A B=\sqrt{(A C)^{2}-(B C)^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{2}-(2 x)^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+2 \times 1 \times x^{2}+(1)^{2}-2 x^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+2 x^{2}-4 x^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}-2 x^{2}+1}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}-2 x^{2}+1^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$

$A B=x^{2}-1$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

Question 56

यदि cos θ+sin θ=1, तो सिद्ध करें कि cos θ-sin θ=±1

Sol :

माना कि cos θ-sin θ=x...(i)

cos θ+sin θ=1....(ii)

दोनों समीकरणों को वर्ग करके जोड़ने पर

$(\cos \theta-\sin \theta)^{2}+(\cos \theta+\sin \theta)^{2}=x^{2}+1^{2}$

$\cos ^{2} \theta-2 \cos \theta \times \sin \theta+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \cos \theta \times \sin \theta+\sin ^{2} \theta=x^{2}+1$

$\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=x^{2}+1$

$1+1=x^{2}+1$

$x^{2}=1$

x=±1

cos θ-sin θ=1