Exercise 8.3
Type I. पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के सूत्रों के सीधे प्रयोग पर
आधारित प्रश्न :
Question 1
θ के पूरक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को रूप में निम्नलिखित को व्यक्त कीजिए ।
(i) cos θSol :
sin(90°-θ)
(ii) sec θ
Sol :
cosec (90°-θ)
(iii) cot θ
Sol :
tan (90°-θ)
(iv) cosec θ
Sol :
sec (90°-θ)
(v) tan θ
Sol :
cot (90°-θ)
Question 2
निम्नलिखित को 90°-θ के पूरक कोण की त्रिकोणमितीय अनुपात के रूप
में व्यक्त कीजिए ।
(i) tan(90°-θ)
Sol :
cot θ
(ii) cos(90°-θ)
Sol :
sin θ
Question 3
रिक्त स्थानों की पर्ति 0° और 90° के बीच के किसी कोण से करें।
(i) $\sin 70^{\circ}=\cos (\ldots)$
Sol :
cos(90°-70°)=20°
cos(90°-70°)=20°
(ii) $\sin 35^{\circ}=\cos (\ldots)$
Sol :
$\cos \left(90^{\circ}-35^{\circ}\right)=55^{\circ}$
(iii) $\cos 48^{\circ}=\sin (\ldots)$
Sol :
$\sin \left(90^{\circ}-48^{\circ}\right)=42^{\circ}$
(iv) $\cos 70^{\circ}=\sin (\ldots)$
Sol :
$\sin \left(90^{\circ}-70^{\circ}\right)=20^{\circ}$
(v) $\cos 50^{\circ}=\sin (\ldots)$
Sol :
$\sin \left(90^{\circ}-50^{\circ}\right)=40^{\circ}$
(vi) $\sec 32^{\circ}=\operatorname{cosec}(\ldots)$
Sol :
$\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-32^{\circ}\right)=58^{\circ}$
TYPE II: कोण θ के त्रिकोणामितीय अनुपात दिए रहने पर न्यूनकोण θ के
पूएक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :
Question 4
यदि $\mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}$, तो पूरक कोण $\mathrm{A}$ या B के
उपयुक्त त्रिकोणमिताय अनुपात से रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) sin A=....
Sol :
$=\sin \left(90^{\circ}-B\right)=\cos B$
(ii) cos B=...
Sol :
$=\cos \left(90^{\circ}-A\right)=\cos A$
(iii) sec A=...
Sol :
$=\sec \left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right)=\operatorname{cosec} \mathrm{B}$
(iv) tan B=...
Sol :
$=\tan \left(90^{\circ}-\mathrm{A}\right)=\cot \mathrm{A}$
(v) cosec B=...
Sol :
$=\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\mathrm{A}\right)=\sec \mathrm{A}$
(vi) cot A=...
Sol :
$=\cot \left(90^{\circ}-B\right)=\tan B$
Question 5
(i) यदि $\sin 37^{\circ}=a$, तब $\cos 53^{\circ}$ का मान a के पदों में
व्यक्त करें।
Sol :
$\sin 37^{\circ}=a$
$\cos \left(90^{\circ}-37^{\circ}\right)=a$
$\cos 53^{\circ}=\mathrm{a}$
(ii) यदि $\cos 47^{\circ}=a$, तब $\sin 43^{\circ}$ का मान a के पदों
में व्यक्त करें।
Sol :
$\cos 47^{\circ}=a$
$\sin \left(90^{\circ}-47^{\circ}\right)=a$
$\sin 43^{\circ}=a$
(iii) यदि $\sin 52^{\circ}=a$, तब $\cos 38^{\circ}$ का मान a के पदों
में व्यक्त करें।
Sol :
$\sin 52^{\circ}=a$
$\cos \left(90^{\circ}-52^{\circ}\right)=a$
$\cos 38^{\circ}=a$
(iv) यदि $\sin 56^{\circ}=x$, तब $\sin 34^{\circ}$ का मान x के
पदों में व्यक्त करें।
Sol :
$\sin 56^{\circ}=x$
$\cos \left(90^{\circ}-56^{\circ}\right)=x$
$\cos 34^{\circ}=x$
Type III: पूरक कोणों के त्रिकोणभितीय अनुपातों से सम्बर्द्ध व्यंजकों के
मानों पर आयाएित प्रश्न:
Question 6
निम्नलिखित के मान ज्ञात करें।
(i) $\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\sin \left(90^{\circ}-59\right)}{\sin 31^{\circ}}=\frac{\sin
31^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}=1$
(ii) $\frac{\cos 53^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\sin \left(90^{\circ}-53^{\circ}\right)}{\sin
37^{\circ}}=\frac{\sin 37^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}=1$
(iii) $\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\cos \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right)}{\cos
70^{\circ}}=\frac{\cos 70^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}=1$
(iv) $\frac{\sqrt{2} \sin 22^{\circ}}{\cos 68^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\sqrt{2} \cos \left(90^{\circ}-22^{\circ}\right)}{\cos
68^{\circ}}=\frac{\sqrt{2} \cos 68^{\circ}}{\operatorname{cos}
68^{\circ}}=\sqrt{2} \times 1=\sqrt{2}$
(v) $\frac{\sin 10^{\circ}}{\cos 80^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\cos \left(90^{\circ}-10^{\circ}\right)}{\cos
80^{\circ}}=\frac{\cos 80^{\circ}}{\cos 80^{\circ}}=1$
(vi) $\frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 63^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\cos \left(90^{\circ}-27^{\circ}\right)}{\cos
63^{\circ}}=\frac{\cos 63^{\circ}}{\cos 63^{\circ}}=1$
(vii) $\frac{\sqrt{3} \cos 65^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\sqrt{3} \sin \left(90^{\circ}-65^{\circ}\right)}{\sin 25^{\circ}}$
$=\frac{\sqrt{3} \sin 25^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}=\sqrt{3} \times
1=\sqrt{3}$
(viii) $\frac{\cos 29^{\circ}}{\sin 61^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\sin \left(90^{\circ}-29^{\circ}\right)}{\sin
61^{\circ}}=\frac{\sin 61^{\circ}}{\sin 61^{\circ}}=1$
(ix) $\sin 54^{\circ}-\cos 36^{\circ}$
Sol :
$\cos \left(90^{\circ}-54^{\circ}\right)-\cos 36^{\circ}$
$\cos 36^{\circ}-\cos 36^{\circ}=0$
(x) $\frac{\tan 80^{\circ}}{\cot 10^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\cot \left(90^{\circ}-80^{\circ}\right)}{\cot
10^{\circ}}=\frac{\cot 10^{\circ}}{\operatorname{cot} 10^{\circ}}=1$
(xi) $ \operatorname{cosec} 31^{\circ}-\sec 59^{\circ}$
Sol :
$\sec \left(90^{\circ}-31^{\circ}\right)-\sec 59^{\circ}$
$\sec 59^{\circ}-\sec 59^{\circ}=0$
(xii) $\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\cos \left(90^{\circ}-18^{\circ}\right)}{\cos
72^{\circ}}=\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=1$
(xiii) $\frac{\tan 65^{\circ}}{\cos 25^{\circ}}$
Sol :
$\frac{\cot \left(90^{\circ}-65^{\circ}\right)}{\cot 25^{\circ}}=\frac{\cot
25^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}=1$
Question 7
रिक्त स्थानों को भरें-
(i) यदि $\sin 50^{\circ}=0.7660$, तो $\cos 40^{\circ}=\ldots \ldots .
.$
Sol :
$\cos \left(90^{\circ}-50^{\circ}\right)=0.7660$
$\cos 40^{\circ}=0.7660$
(ii) यदि $\cos 44^{\circ}=0.7193$, तो $\sin 46^{\circ}=$.
Sol :
$\sin \left(90^{\circ}-44^{\circ}\right)=0.7193$
$\sin 46^{\circ}=0.7193$
(iii) $\sin 50^{\circ}+\cos 40^{\circ}=2 \sin (\ldots \ldots . .)$
Sol :
$\sin 50^{\circ}+\cos 40^{\circ}$
$\sin 50^{\circ}+\sin \left(90^{\circ}+40^{\circ}\right)$
$\sin 50^{\circ}+\sin 50^{\circ}$
$2 \sin 50^{\circ}$
(iv) $\frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$ का मान $\ldots \ldots$
है
Sol :
$\frac{\cos \left(90^{\circ}-70^{\circ}\right)}{\cos
20^{\circ}}=\frac{\cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}=1$
Question 8
(i) यदि $\mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}$, तब $\cos \mathrm{B}$ को
$\mathrm{A}$ के सरलतम त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें।
Sol :
$\cos B=\cos \left(90^{\circ}-A\right)=\sin A$
(ii) यदि $\mathrm{X}+\mathrm{Y}=90^{\circ}$, तब $\cos \mathrm{X}$ को
$\mathrm{Y}$ के सरलतम त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें।
Sol :
$\cos X=\cos \left(90^{\circ}-Y\right)=\sin Y$
Question 9
(i) यदि $\mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}, \sin \mathrm{A}=a, \sin
\mathrm{B}=b$, तो सिद्ध कीजिए कि-
(a) $a^{2}+b^{2}=1$
Sol :
sin A=a, sin B=b
दोनों को वर्ग करके जोड़ने पर
$\begin{aligned}&\sin ^{2} \mathrm{~A}+\sin ^{2}
\mathrm{~B}=a^{2}+b^{2} \\&\cos
^{2}\left(90^{\circ}-\mathrm{A}\right)+\cos
^{2}\left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right)=a^{2}+b^{2} \\&\cos ^{2}
\mathrm{~B}+\sin ^{2} \mathrm{~A}=a^{2}+b^{2}
\\&1=a^{2}+b^{2}\end{aligned}$
(b) $\tan \mathrm{A}=\frac{a}{b}$
Sol :
sin A=a, sin B=b
भाग देने पर
$\begin{aligned}&\frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{a}{b}
\\&\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos
\left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right)}=\frac{a}{b} \\&\frac{\sin
\mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}=\frac{a}{b} \\&\tan
=\frac{a}{b}\end{aligned}$
(ii) दिखायें कि $\sin \left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos
\left(40^{\circ}-\theta\right)=0$.
Sol :
$\sin \left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos
\left(40^{\circ}-\theta\right)=0$
$\cos \left[90^{\circ}-\left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos
\left(40^{\circ}-\theta\right)\right.$
$\cos \left(90^{\circ}-50^{\circ}-\theta\right)-\cos
\left(40^{\circ}-\theta\right)$
$\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)-\cos
\left(40^{\circ}-\theta\right)$=0
Question 10
सिद्ध कीजिए कि $\frac{\cos \theta}{\sin
\left(90^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\sin \theta}{\cos
\left(90^{\circ}-\theta\right)}=2$
Sol :
LHS
$\frac{\cos \theta}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\sin \theta}=2$
1+1=2
2=2 proved
Helpful thank u...
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