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KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवम सर्वसमिकाए ( Trigonometry Ratios and Identities ) Exercise 8.3 (Q1-Q10)

 Exercise 8.3

Type I. पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के सूत्रों के सीधे प्रयोग पर आधारित प्रश्न :

Question 1

θ के पूरक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को रूप में निम्नलिखित को व्यक्त कीजिए ।

(i) cos θ
Sol :
sin(90°-θ)

(ii) sec θ
Sol :
cosec (90°-θ)

(iii) cot θ
Sol :
tan (90°-θ)

(iv) cosec θ
Sol :
sec (90°-θ)

(v) tan θ
Sol :
cot (90°-θ)

Question 2

निम्नलिखित को 90°-θ के पूरक कोण की त्रिकोणमितीय अनुपात के रूप में व्यक्त कीजिए ।
(i) tan(90°-θ)
Sol :
cot θ

(ii) cos(90°-θ)
Sol :
sin θ

Question 3

रिक्त स्थानों की पर्ति 0° और 90° के बीच के किसी कोण से करें।
(i) \sin 70^{\circ}=\cos (\ldots)
Sol :
cos(90°-70°)=20°

(ii) \sin 35^{\circ}=\cos (\ldots)
Sol :
\cos \left(90^{\circ}-35^{\circ}\right)=55^{\circ}

(iii) \cos 48^{\circ}=\sin (\ldots)
Sol :
\sin \left(90^{\circ}-48^{\circ}\right)=42^{\circ}

(iv) \cos 70^{\circ}=\sin (\ldots)
Sol :
\sin \left(90^{\circ}-70^{\circ}\right)=20^{\circ}

(v) \cos 50^{\circ}=\sin (\ldots)
Sol :
\sin \left(90^{\circ}-50^{\circ}\right)=40^{\circ}

(vi) \sec 32^{\circ}=\operatorname{cosec}(\ldots)
Sol :
\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-32^{\circ}\right)=58^{\circ}

TYPE II: कोण θ के त्रिकोणामितीय अनुपात दिए रहने पर न्यूनकोण θ के पूएक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :

Question 4

यदि \mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}, तो पूरक कोण \mathrm{A} या B के उपयुक्त त्रिकोणमिताय अनुपात से रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

(i) sin A=....
Sol :
=\sin \left(90^{\circ}-B\right)=\cos B

(ii) cos B=...
Sol :
=\cos \left(90^{\circ}-A\right)=\cos A

(iii) sec A=...
Sol :
=\sec \left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right)=\operatorname{cosec} \mathrm{B}

(iv) tan B=...
Sol :
=\tan \left(90^{\circ}-\mathrm{A}\right)=\cot \mathrm{A}

(v) cosec B=...
Sol :
=\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\mathrm{A}\right)=\sec \mathrm{A}

(vi) cot A=...
Sol :
=\cot \left(90^{\circ}-B\right)=\tan B

Question 5

(i) यदि \sin 37^{\circ}=a, तब \cos 53^{\circ} का मान a के पदों में व्यक्त करें।
Sol :
\sin 37^{\circ}=a
\cos \left(90^{\circ}-37^{\circ}\right)=a
\cos 53^{\circ}=\mathrm{a}


(ii) यदि \cos 47^{\circ}=a, तब \sin 43^{\circ} का मान a के पदों में व्यक्त करें।
Sol :
\cos 47^{\circ}=a
\sin \left(90^{\circ}-47^{\circ}\right)=a
\sin 43^{\circ}=a


(iii) यदि \sin 52^{\circ}=a, तब \cos 38^{\circ} का मान a के पदों में व्यक्त करें।
Sol :
\sin 52^{\circ}=a
\cos \left(90^{\circ}-52^{\circ}\right)=a
\cos 38^{\circ}=a


(iv) यदि \sin 56^{\circ}=x, तब \sin 34^{\circ} का मान x के पदों में व्यक्त करें।
Sol :
\sin 56^{\circ}=x 
\cos \left(90^{\circ}-56^{\circ}\right)=x 
\cos 34^{\circ}=x

Type III: पूरक कोणों के त्रिकोणभितीय अनुपातों से सम्बर्द्ध व्यंजकों के मानों पर आयाएित प्रश्न:

Question 6

निम्नलिखित के मान ज्ञात करें।

(i) \frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}
Sol :
\frac{\sin \left(90^{\circ}-59\right)}{\sin 31^{\circ}}=\frac{\sin 31^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}=1


(ii) \frac{\cos 53^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}
Sol :
\frac{\sin \left(90^{\circ}-53^{\circ}\right)}{\sin 37^{\circ}}=\frac{\sin 37^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}=1


(iii) \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}
Sol :
\frac{\cos \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right)}{\cos 70^{\circ}}=\frac{\cos 70^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}=1


(iv) \frac{\sqrt{2} \sin 22^{\circ}}{\cos 68^{\circ}}
Sol :
\frac{\sqrt{2} \cos \left(90^{\circ}-22^{\circ}\right)}{\cos 68^{\circ}}=\frac{\sqrt{2} \cos 68^{\circ}}{\operatorname{cos} 68^{\circ}}=\sqrt{2} \times 1=\sqrt{2}


(v) \frac{\sin 10^{\circ}}{\cos 80^{\circ}}
Sol :
\frac{\cos \left(90^{\circ}-10^{\circ}\right)}{\cos 80^{\circ}}=\frac{\cos 80^{\circ}}{\cos 80^{\circ}}=1


(vi) \frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 63^{\circ}}
Sol :
\frac{\cos \left(90^{\circ}-27^{\circ}\right)}{\cos 63^{\circ}}=\frac{\cos 63^{\circ}}{\cos 63^{\circ}}=1


(vii) \frac{\sqrt{3} \cos 65^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}
Sol :
\frac{\sqrt{3} \sin \left(90^{\circ}-65^{\circ}\right)}{\sin 25^{\circ}}
=\frac{\sqrt{3} \sin 25^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}=\sqrt{3} \times 1=\sqrt{3}


(viii) \frac{\cos 29^{\circ}}{\sin 61^{\circ}}
Sol :
\frac{\sin \left(90^{\circ}-29^{\circ}\right)}{\sin 61^{\circ}}=\frac{\sin 61^{\circ}}{\sin 61^{\circ}}=1


(ix) \sin 54^{\circ}-\cos 36^{\circ}
Sol :
\cos \left(90^{\circ}-54^{\circ}\right)-\cos 36^{\circ}
\cos 36^{\circ}-\cos 36^{\circ}=0


(x) \frac{\tan 80^{\circ}}{\cot 10^{\circ}}
Sol :
\frac{\cot \left(90^{\circ}-80^{\circ}\right)}{\cot 10^{\circ}}=\frac{\cot 10^{\circ}}{\operatorname{cot} 10^{\circ}}=1


(xi) \operatorname{cosec} 31^{\circ}-\sec 59^{\circ}
Sol :
\sec \left(90^{\circ}-31^{\circ}\right)-\sec 59^{\circ}
\sec 59^{\circ}-\sec 59^{\circ}=0


(xii) \frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}
Sol :
\frac{\cos \left(90^{\circ}-18^{\circ}\right)}{\cos 72^{\circ}}=\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=1

(xiii) \frac{\tan 65^{\circ}}{\cos 25^{\circ}}
Sol :
\frac{\cot \left(90^{\circ}-65^{\circ}\right)}{\cot 25^{\circ}}=\frac{\cot 25^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}=1

Question 7

रिक्त स्थानों को भरें-

(i) यदि \sin 50^{\circ}=0.7660, तो \cos 40^{\circ}=\ldots \ldots . .
Sol :
\cos \left(90^{\circ}-50^{\circ}\right)=0.7660
\cos 40^{\circ}=0.7660


(ii) यदि \cos 44^{\circ}=0.7193, तो \sin 46^{\circ}=.
Sol :
\sin \left(90^{\circ}-44^{\circ}\right)=0.7193
\sin 46^{\circ}=0.7193


(iii) \sin 50^{\circ}+\cos 40^{\circ}=2 \sin (\ldots \ldots . .)
Sol :
\sin 50^{\circ}+\cos 40^{\circ}
\sin 50^{\circ}+\sin \left(90^{\circ}+40^{\circ}\right)
\sin 50^{\circ}+\sin 50^{\circ}
2 \sin 50^{\circ}


(iv) \frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} का मान \ldots \ldots है
Sol :
\frac{\cos \left(90^{\circ}-70^{\circ}\right)}{\cos 20^{\circ}}=\frac{\cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}=1

Question 8

(i) यदि \mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}, तब \cos \mathrm{B} को \mathrm{A} के सरलतम त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें।
Sol :
\cos B=\cos \left(90^{\circ}-A\right)=\sin A

(ii) यदि \mathrm{X}+\mathrm{Y}=90^{\circ}, तब \cos \mathrm{X} को \mathrm{Y} के सरलतम त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त करें।
Sol :
\cos X=\cos \left(90^{\circ}-Y\right)=\sin Y


Question 9

(i) यदि \mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}, \sin \mathrm{A}=a, \sin \mathrm{B}=b, तो सिद्ध कीजिए कि-
(a) a^{2}+b^{2}=1
Sol :
sin A=a, sin B=b

दोनों को वर्ग करके जोड़ने पर
\begin{aligned}&\sin ^{2} \mathrm{~A}+\sin ^{2} \mathrm{~B}=a^{2}+b^{2} \\&\cos ^{2}\left(90^{\circ}-\mathrm{A}\right)+\cos ^{2}\left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right)=a^{2}+b^{2} \\&\cos ^{2} \mathrm{~B}+\sin ^{2} \mathrm{~A}=a^{2}+b^{2} \\&1=a^{2}+b^{2}\end{aligned}


(b) \tan \mathrm{A}=\frac{a}{b}
Sol :
sin A=a, sin B=b
भाग देने पर
\begin{aligned}&\frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{a}{b} \\&\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \left(90^{\circ}-\mathrm{B}\right)}=\frac{a}{b} \\&\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}=\frac{a}{b} \\&\tan =\frac{a}{b}\end{aligned}

(ii) दिखायें कि \sin \left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)=0.
Sol :
\sin \left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)=0
\cos \left[90^{\circ}-\left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)\right.
\cos \left(90^{\circ}-50^{\circ}-\theta\right)-\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)
\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)-\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)=0

Question 10

सिद्ध कीजिए कि \frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}=2
Sol :
LHS
\frac{\cos \theta}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\sin \theta}=2
1+1=2
2=2 proved

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