Exercise 29.1
Question 1
निम्नलिखित प्रत्येक रेखा युग्म के बीच का कोण ज्ञात करें
[Find the angle between each of the following pair of lines] :
(i)
$\vec{r}=5 \hat{i}-7 \hat{j}+\lambda(-\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$
$\vec{r}=-2 \hat{i}+k+\mu(3 \hat{i}+4 \hat{k})$
Sol :
(ii)
$\vec{r}=(2+s) \hat{i}+(s-1) \hat{j}+(2-3 s) \hat{k}$
$\vec{r}=(1-t) \hat{i}+(2 t+3) \hat{j}+\hat{k}$
Sol :
Question 2
निम्नलिखित रेखा युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए :
[Find the angle between the following pair of lines]
(i)
$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$
तथा (and)
$\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$
Sol :
(ii)
$\vec{r}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+\hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k})$
तथा (and)
$\vec{r}=7 \hat{i}-6 \hat{k}+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$
Sol :
Question 3
निम्नलिखित रेखा युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
[Find the angle between the following pairs of lines] :
(i) $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{6}, x+1=\frac{y+2}{2}=\frac{z-4}{2}$
(ii) $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4}, \quad \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{2}$
Sol :
Question 4
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए :
[Find the angle between the following pair of lines]
(i) $\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ तथा (and) $\frac{x-5}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{8}$
(ii) $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}$ तथा (and) $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}$
Sol :
Question 5
निम्नलिखित रेखा युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए ।
[Find the angle between the following pair of lines]
(i) $\frac{x+4}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4}$ तथा (and) $\frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$
(ii) $\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{-4}$ तथा (and) $\frac{x-0}{3}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+2}{-6}$
(iii)
$\vec{r}=4 \hat{i}-\hat{j}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})$ तथा (and)
$\vec{r}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}-\mu(2 \hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k})$
Sol :
Question 6
दिखाएँ कि रेखा (Show that the line) $\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{4}$ (is perpendicular to the line) रेखा $\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{4}=\frac{z+5}{2}$ पर लम्ब है ।
Sol :
Question 7
यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}$ परस्पर लंब हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
[If the lines $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}$ and $\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}$ are perpendicular , Find the value of k.]
Sol :
Question 8
दिखाएँ कि रेखाएँ (Show that the lines)
$\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$ तथा (and) $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ परस्पर लम्ब हैं [are perpendicular to each other]
Sol:
Question 9
p का मान ज्ञात करें ताकि रेखाएँ [Find the value of p so that the lines] $\frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{2 p}=\frac{z-3}{2}$ तथा (and) $\frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5}$ परस्पर लम्ब है (are at right angles).
Sol :
Question 10
यदि बिंदुओं A,B,C, और D के निर्देशांक क्रमशः (1,2,3),(4,5,7),(-4,3,-6), और (2,9,2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 11
दिखाइए कि मूल बिंदु से (2,1,1) को मिलाने वाली रेखा , बिन्दुओं (3,5,-1) और (4,3,-1) से निर्धारित रेखा पर लंब है।
Show that the line joining the origin to the point (2,1,1) is perpendicular to the line determined by the points (3,5,-1) and (4,3,1) is perpendicular
Sol :
TYPE-II : सरल रेखा के सममित रूप में समीकरण पर आधारित प्रश्न:
Question 12
दर्शाइए कि बिंदुओं (4,7,8) तथा (2,3,4) से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं (-1,-2,1) तथा (1,2,5) से जानेवाली रेखा के समांतर है।
(Show that the line through the points (4,7,8) and (2,3,4) is parallel to the line through the points (-1,-2,1) and (1,2,5)]
Sol :
Question 13
दिर्शाइए कि बिंदुओं (1,-1,2) तथा (3,4,-2) से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं (0,3,2) और (3,5,6) से जाने वाली रेखा पर लंब है।[Show that the line through the points (1,-1,2) and (3,4,-2) is perpendicular to the line through the points (0,3,2) and (3,5,6).]
Sol :
Question 14
दिखाएँ कि दिक्-कोज्याएँ
[Show that the three lines with direction cosines]
$\frac{12}{13},-\frac{3}{13},-\frac{4}{13} ; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}, \frac{3}{13}-\frac{4}{13}, \frac{12}{13}$ वाली रेखाएँ परस्पर लम्ब है। [are mutually perpendicular]
Sol :
Question 15
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक्-अनुपात a,,b,c और b-c, c-a, a-b है।
[Find the angle between the lines whose direction ratios are a,b,c and b-c, c-a, a-b.]
Sol :
Question 16
दो परस्पर लंब रेखाओं की दिक्-कोसाइन $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ और $l_{2}, m_2, n_2$, हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लंब रेखा की दिक्-कोसाइन $m_1n_2-m_2n_1 , n_1l_2-n_2l_1 , l_1m_2-l_2m_1$ है।
[If $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ and $l_{2}, m_2, n_2$ are the direction cosines of two mutually perpendicular lines , show that the direction cosines of the line perpendicular to both of these $m_1n_2-m_2n_1 , n_1l_2-n_2l_1 , l_1m_2-l_2m_1$ ]
Sol :
Question 17
मूल बिन्दु से जाते हुए तथा x-अक्ष के समान्तर एक रेखा का समीकरण
[Find the equation of a line parallel to x-axis and passing through the origin.]
Sol :
Question 18
बिंदु (1,2,3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ के समांतर है।
[Find the equation of the line which passes through the point (1,2,3) is parallel to the vector $3 \hat{\imath}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$]
Sol :
Question 19
एक रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ है । इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
[The cartesian equation of a line is $\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ . Write its vector equation]
Sol :
Question 20
मूल बिंदु और (5,-2,3) से जाने वाली रेखा का समीकरण सदिश तथा कार्तीय रूपों में ज्ञात कीजिए।
[Find the vector and cartesian equation of the line that passes through the origin and (5,-2,3).]
Sol :
Question 21
बिन्दुओं (-1,0,2) तथा (3,4,6) से जाती हुई रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात करों
[Find the vector equation of the line passing through the points (-1,0,2) and (3,4,6)]
Sol :
Question 22
किसी रेखा का कार्तीय समीकरण है
[The cartesian equation of a line is]
$\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}$
इसका सदिश समीकरण ज्ञात करें।
[Find its vector equation.]
Sol :
Question 23
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात करें जो एक बिन्दु से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $2 \hat{\imath}-\hat{\hat{j}}+4 \hat{k}$ है तथा जो $\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}$ की दिशा में है।
[Find the equation of the line in cartesian form that passes through the point with position vector $2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}$ and is in the direction $\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$
Sol :
Question 24
बिन्दु $2 \hat{\imath}-\hat{j}+4 \hat{k}$ से जाती हुई तथा सदिश $\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ के समान्तर रेखा का समीकरण सदिश तथा कार्तीय रूप में लिखें।
[Find the equation of the line passing through point $2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}$ and parallel to vector $\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ in vector form as well as cartesian form]
Sol :
Question 25
बिन्दुओं $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ तथा $-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ से जाती हुई रेखा का समीकरण सदिश तथा कार्तीय रूप में ज्ञात करें।
[Find the equation of the line passing through points $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ and or passing through $-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ in vector form and cartesian form.]
Sol :
Question 26
बिन्दु (1,0,2) से जाती हुई रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका दिक्-अुपात (3,1,5) है। दिखाएँ कि यह रेखा बिन्दु (4,-1,7) से जाती है।
[Find the equation of the line passing through point (1,0,2) having directions 3,-1,5 . Prove that this line passing through (4,-1,7)]
Sol :
Question 27
रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{9}$ के समान्तर बिन्दु (3,0,5) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण ज्ञात करे।
[Find the equation of the line parallel to the line $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-7}{9}$ and passing through the point (3,0,5)]
Sol :
Question 28
बिनु जिसकी स्थिति सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है, से जाती हुई तथा बिन्दुओं जिनकी स्थिति सदिश $-\hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ तथा $\hat{\imath}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं, को मिलानेवाली रेखा के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात करें। इस रेखा का कार्तीय समीकरण भी ज्ञात करें।
[Find the vector equation of a line joining through a point with position vector $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ and parallel to the line joining the points with position vectors $-\hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ and $\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$. Also find the cartesian equation of this line.]
Sol :
Question 29
संदिश $2 \hat{\imath}-\hat{j}+2 \hat{k}$ के समान्तर तथा बिन्दु A जिसकी स्थिति सदिश $3 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-\hat{k}$ है, से गुजरती हुई रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात करें।
Find the vector equation of a line parallel to the vector $2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+2 \hat{k}$ and passing through a point A with position vector $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} .]$
Sol :
Question 30
जिनके स्थिति सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ तथा $3 \hat{k}-2 \hat{j}$ हैं, से गुजरती हुई रखा का समीकरण ज्ञात करें।
Find the vector equation of a straight line which passes through the points whose position vectors are $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ and $3 \hat{k}-2 \hat{j}$.]
Sol :
TYPE-III : किसी सरल रेखा पर स्थित किसी स्वेच्छ बिन्दु के निर्देशांक पर आधारित प्रश्न:
Question 31
बिन्दु (2,-1,5) से रेखा $\frac{x-11}{10}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z+8}{-11}$ पर खींचे गए लम्ब का पाद तथा लम्बाई ज्ञात करें।
Find the foot and length the perpendicular from point (2,-1,5) to the line $\frac{x-11}{10}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z+8}{-11}$
Sol :
Question 32
रेखा $\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}$ पर बिन्दु (1,2,3) से $3 \sqrt{2}$ दूरी पर स्थित बिन्दुओं है निर्देशांक ज्ञात करें।
[Find coordinates of the points on the line $\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}$ at a distance $3 \sqrt{2}$ from the point (1,2,3)]
Sol :
Question 33
बिन्दु A(1,8,4) से बिन्दुओं B(0,-1,3) तथा C(2,-3,-1) को मिलानेवाली रेखा का खींचे गए लम्ब के पाद का निर्देशांक ज्ञात करें।
[Find the coordinates of the foot of perpendicular drawn from the point A(1,8,4) to the line joining B(0,-1,3) and C(2,-3,-1)]
Sol :
Question 34
बिन्दु (1,6,3) का रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$ में प्रतिबिम्ब ज्ञात करें।
[Find the image of the point $(1,6,3)$ in the line $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$.]
Sol :
Question 35
बिन्दु (1,0,0) से रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+10}{8}$ का लम्बवत् दूरी ज्ञात करें।
[Find the perpendicular distance of the point (1,0,0) from the line
$\left.\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+10}{8}\right]$
(Also find the coordinates of the foot of the perpendicular.)
Sol :
Question 36
(0,2,7) से रेखा $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{-2}$ पर खींचे गए लम्ब का पाद ज्ञात करें
[Find the foot of perpendicular from (0,2,7) to line $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{-2}$
Sol :
Question 37
बिन्दु (2,4,-1) से रेखा $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9}$ पर खींचे गए लम्ब का समीकरण ज्ञात करे।
[Find the equation of the perpendicular drawn from the point (2,4,-1) to the line $\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-6}{-9}$
Sol :
Question 38
बिन्दु (5,7,3) से रेखा $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$ पर खींचे गए लम्ब का पाद तथा लम्बाई ज्ञात करें। लम्ब का समीकरण भी निकाले ।
[Find the foot and hence the length of perpendicular from (5,7,3) to the line $\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}$. Find also the equation of the perpendicular.
Sol :
Question 39
बिन्दुओं A(1,2,3) तथा B(3,5,9) को मिलानेवाली रेखा पर AB के मध्य बिन्दि से 14 इकाई दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं के नियामक ज्ञात करें।
[Find the points on the line through the points A(1,2,3) and B(3,5,9) at a distance of 14 units from the mid point of AB]
Sol :
Question 40
बिन्दु (3,4,5) से रेखा $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{5}=\frac{z-1}{3}$ पर खीचें गए लम्ब की लम्बाई ज्ञात करें।
[Find the length of the perpendicular from the point (3,4,5) on the line $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{5}=\frac{z-1}{3}$]
Sol :
Question 41
निम्नलिखित रेखा युग्मों के बीच का न्यूनतम दूरी ज्ञात करें।[Find the shortest distance between the following pair of lines]
(i)
$\vec{r}=\hat{\imath}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ तथा (and)
$\vec{r}=2 \hat{\imath}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$
Sol :
(ii)
$\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$
(iii)
$\vec{r}=(1-t) \hat{\imath}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$
$\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$
Sol :
(iv)
$\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})$ तथा (and)
$\vec{r}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$
Sol :
(v)
$\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$ तथा (and)
$\vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$
Sol :
Question 42
Question 43
Question 44
Question 45
[Find the shortest distance and equation of shortest distance between the lines]
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