Exercise 26.1
Question 11
यदि \vec{a}=5 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+3 \hat{k} तथा
\vec{b}=\hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}, तो दिखाएँ कि सदिश
\vec{a}+\vec{b} तथा \vec{a}-\vec{b} लम्बव्त् हैं।
Sol :
\begin{aligned} \vec{a}+\vec{b} &=5 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}+\hat{i}+3
\hat{j}-5 \vec{k} \\ &=6 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k} \end{aligned}
\begin{aligned} \vec{a}-\vec{b} &=(5 \hat{i}-\hat{j}+3
\hat{k})-(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) \\ &=5 \hat{i}-\hat{j}+3
\hat{k}-\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k} \\ &=4 \hat{i}-4 \hat{j}+8 \hat{k}
\end{aligned}
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=(6 \vec{i}+2 \hat{j}-2 \vec{k})
\cdot(4 \vec{i}-4 \hat{j}+8 \vec{k})
=24-8-16=0
∴(\vec{a}+\vec{b}) \perp(\vec{a}-\vec{b})
Question 12
x के किस मान के लिए, सदिश x \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k} तथा
x(-\hat{\imath}+\hat{\jmath})+2 \hat{k} परस्पर लम्ब हैं।
Sol :
माना
\vec{a}=x \hat{j}-3 \hat{j}+5 \hat{k}
\vec{b}=-x i+x \hat{j}+2 \hat{k}
\because \vec{a}+\vec{b}
\vec{a} \cdot \vec{b}=0
(x \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot\left(-x \hat{i}+x \hat{j}+2
\hat{k}\right)=0
-x^{2}-3 x+10=0
x^{2}+3 x-10=0
x^{2}+5 x-2 x-10=0
x(x+5)-2(x+5)=0
(x+5)(x-2)=0
x+5=0 | x-2=0
x=-5 | x=2
Question 13
यदि \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k},
\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k} तथा
\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}-4 \hat{k}. तो
दिखाएँ कि \mathrm{CB}, \mathrm{AC} पर लम्ब हैं।
Sol :
\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}
=(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})-(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k})
=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}-3 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}
\overrightarrow{C B}=-2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}
=(3\hat{ i}-4 \hat{j}-4 \vec{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+\vec{k})
=3 \vec{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}-2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}
=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}
\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{A C}=(-2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})
\cdot(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})
=-2-3+5=0
∴CB⟂AC
Question 14
यदि \vec{a}=2 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k},
\vec{b}=-\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\hat{k} तथा \vec{c}=3
\hat{\imath}+\hat{\jmath} इस प्रकार हैं कि \vec{a}+\lambda \vec{b},
\vec{c} पर लम्ब है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
\left.\vec{a}+\lambda \vec{b}=(2 \hat{i}+2\hat{j}+3 \vec{k}\right)+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\vec{k})
=2 \hat{\imath}+2 \hat{j}+3 \hat{k}-\lambda \hat{j}+2 \lambda \hat{j}+\lambda \hat{k}
\vec{a}+\lambda \vec{b}=(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \vec{k}
\because \vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c} पर लंब है।
(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c}=0
\left[\left(2-\lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(3+\lambda) \hat{k}\right] \cdot\left(3\hat{i}+\hat{j}\right)=0\right.
3(2-\lambda)+1(2+2 \lambda)=0
6-3 \lambda+2+2 \lambda=0
-\lambda+8-0 \Rightarrow \lambda=8
Question 15
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है.
[Show that each of the following three vectors is a unit vector]
\frac{1}{7}(2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+6 \hat{k}), \frac{1}{7}(3 \hat{\imath}-6 \hat{\jmath}+2 \hat{k}), \frac{1}{7}(6 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k})
यह भी दिखाएँ कि ये सदिश परस्पर लम्ब हैं।
Sol :
माना
\vec{a}=\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}
\vec{b}=\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}
\vec{c}=\frac{6}{7} \hat{i}+\frac{2}{7} \hat{j}-\frac{3}{7} \hat{k}
|\vec{a}|=\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}}
=\sqrt{\frac{4}{49}+\frac{9}{49}+\frac{36}{49}}
=\sqrt{\frac{49}{49}}
=1
|\vec{b}|=\sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}}
=1
|\vec{c}|=\sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-3}{7}\right)^{2}}
=1
|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1
∴\vec{a}, \vec{b} तथा \vec{c} एक इकाई सदिश है।
Question 16
दिखाएँ कि शीर्ष (1,-1,1),(2,3,-1) तथा (3,0,2) वाले त्रिभुज के तीनों कोण, क्रमरः
\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{114}}, \cos ^{-1} \frac{4}{\sqrt{176}} \text { तथा (and) } \cos ^{-1} \frac{17}{\sqrt{399}}हैं।
Sol :
माना ΔABC के शीर्ष क्रमशः A(1,-1,1), B(2,3,-1) तथा C(3,0,2) है।
\overrightarrow{A B}=(2-1) \hat{\imath}+(3+1) \hat{j}+(-1-1) \hat{k}
=\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}
\overrightarrow{AC}=(3-1) \hat{i}+(0+1) \hat{j}+(2-1) \hat{k}
=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}
\overrightarrow{AB}=\sqrt{{1 }^{2}+{4}^{2}+(-2)^{2}}
=\sqrt{1+16+4}
=\sqrt{21}
|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}
cos A=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{|\vec{AB} |\vec{AC}||}
\cos A=\frac{4}{\sqrt{21} \sqrt{6}}
A=\cos ^{-1}\left(=\frac{4}{\sqrt{126}}\right)
\overrightarrow{B A}=-\hat{i}-4 \hat{j}+2 \vec{k}
\begin{aligned} \overrightarrow{B C} &=(3-2) \hat{i}+(0-3) \hat{j}+(2+1) \hat{k}\\ &=\hat{i}-3 \hat{\jmath}+3\hat{k} \end{aligned}
\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=-1+12+6=17
|\overrightarrow{B A}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}
|\overrightarrow{B C}|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}
\cos B=\frac{\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}|}
\Rightarrow \cos B=\frac{17}{\sqrt{21} \times \sqrt{19}}
\cos B=\frac{17}{\sqrt{399}}
B=\cos ^{-1}\frac{17}{\sqrt{399}}
\overrightarrow{C B}=-\hat{i}+3 \hat{j}-3 \hat{k}
\overrightarrow{C A}=-2 \hat{j}-\hat{j}-\hat{k}
\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}==2-3+9=2
|\overrightarrow{C B}|=\sqrt{19} \quad, \quad \overrightarrow{C A}=\sqrt{6}
\cos C=\frac{\overrightarrow{C B} \cdot\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{C A}|}
\cos C=\frac{2}{\sqrt{19} \times \sqrt{6}}
\begin{aligned} \cos C &=\frac{2}{\sqrt{114}} \\ C &=\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{14}} \end{aligned}
Question 17
सदिशों \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k} तथा 3 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+2 \hat{k} में से प्रदेक पर सम्द इकाई सदिश क अदिश पटक निकलें।
Sol :
माना \vec{a}=\hat{j}+2 \hat{j}-\vec{k}, \vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}
माना \vec{c}, \vec{a} तथा \vec{b} पर लंब है।
\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} (माना)
\because \vec{c} \perp \vec{a}
\vec{c} \cdot \vec{a}=0 \Rightarrow \quad x+2 y-z=0...(i)
\because \vec{c} \perp \vec{b}
\vec{c} \cdot \vec{b}=0 \Rightarrow 3 x-y+2 z=0...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) है,
=\dfrac{x}{\begin{matrix}&2 & &-1\\&&\times &\\&-1& &2\end{matrix}}=\dfrac{y}{\begin{matrix}&-1 & &1\\&&\times &\\&2& &3\end{matrix}}=\dfrac{z}{\begin{matrix}&1 & &2\\&&\times &\\&3& &-1=\lambda\end{matrix}}
=\dfrac{x}{\begin{matrix}&2 & &-1\\&&\times &\\&-1& &2\end{matrix}}=\dfrac{y}{\begin{matrix}&-1 & &1\\&&\times &\\&2& &3\end{matrix}}=\dfrac{z}{\begin{matrix}&1 & &2\\&&\times &\\&3& &-1=\lambda\end{matrix}}
\frac{x}{4-1}=\frac{y}{-3-2}=\frac{z}{-1-6}=\lambda
\frac{x}{3}=\frac{y}{-5}=\frac{z}{-7}=\lambda
x=3 \lambda, y=-5 \lambda, z=-7 \lambda
∴\vec{c}=3 \lambda \hat{i}-5 \lambda \hat{j}-7 \lambda \hat{k}
\vec{c}=\lambda(3 \hat{i}-5 \hat{j}-7 \hat{k})
∵\vec{c} एक इकाई सदिश है।
|\vec{c}|=1
|\lambda| \sqrt{3^{2}+(-5)^{2}+(-7)^{2}}=1
\lambda+\sqrt{9+25+49}=1
\lambda \sqrt{83}=1 \Rightarrow \lambda=\frac{1}{\sqrt{83}}◘
\therefore \vec{c}=\frac{1}{\sqrt{83}}\left(3 \hat{i}-5 \hat{j}-7 \hat{k}\right)
\vec{c}=\frac{3}{\sqrt{83}} \hat{\imath}-\frac{5}{\sqrt{83}} \hat{j}-\frac{7}{\sqrt{83}} \hat{k}
अदिश घटकः
\frac{3}{\sqrt{83}}, \frac{-5}{\sqrt{83}}, \frac{-7}{\sqrt{83}}
Question 18
यदि \vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}, तो एक सदिश \vec{c} ज्ञात करें ताकि \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} एक समकोण त्रिभुज की क्रमागत भुजाएँ बनाती हैं।
Sol :
∵\vec{a}=2 \hat{\lambda}-\hat{j}+\hat{k}
\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}
\vec{a} \cdot \vec{b}=2+3-5=0
\therefore \vec{a} \perp \vec{b}
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}
\overrightarrow{A C}=\vec{a}+\vec{b} \Rightarrow \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}
=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}+\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}
=3 \hat{i}-4 \hat{\jmath}-4\hat{ k}
Question 19
3 \sqrt{2} परिमाण यासे zx-तल में स्थित सदिश हात करें जो सदिश 2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} पर लम्ब है।
Sol :
माना \vec{a}=x \hat{i}+z \hat{k}, जो zx-तल में स्थित है।
|\vec{a}|=3 \sqrt{2}
माना \vec{b}=2 \hat{i}+j+2 \hat{k}
\because \vec{a}+\vec{b}
\vec{a} \cdot \vec{b}=0
2x+2z=0
2(x+2)=0
x+z=0
z=-x
\because|\vec{a}|=3 \sqrt{2}
\sqrt{x^{2}+z^{2}}=3 \sqrt{2}
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
x^{2}+z^{2}=18 (z=-x रखने पर)
x^{2}+(-x)^{2}=18
2 x^{2}=18 \Rightarrow x^{2}=9
\begin{aligned} \Rightarrow x &=\pm 3 \\ z &=\mp 3 \end{aligned}
∴स्थिति सदिश \vec{a}=\pm 3 \hat{i}\mp 3 \hat{k}
=\pm 3\left(\hat{i}-\hat{k}\right)
Question 20
एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण \vec{a}=3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}-\hat{k} तथा \vec{b}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-6 \hat{k} हैं। दिखाएँ कि समान्तर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है तथा इसके भुजाओं की लम्बाइयाँ तथा कोण ज्ञात करें।
Sol :
माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
\overrightarrow{AC}=\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}
\overrightarrow{BD}=\vec{a}=3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}-\hat{k}
∴ABCD एक समचतुर्भुज है।
\begin{aligned} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D} &=\overrightarrow{A C} \\ \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D} &=\vec{b}....(i) \\ \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C} &=\vec{a} \\- \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C} &=\vec{a} ....(ii)\end{aligned}
समीकरण (i) तथा (ii) से,
\begin{aligned}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{b}\\-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}\\ \hline \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\vec{b}+\vec{a}\end{aligned}
\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{AD}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-6\hat{k}+3\hat{i}-4 \hat{j}-\hat{k}
2 \overrightarrow{A D}=5 \hat{i}-\hat{j}-7\hat{k}
\overrightarrow{AD}=\frac{5}{2} \hat{\imath}-\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{7}{2} \hat{k}
∵\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\vec{b} (समीकरण (i) से)
\overrightarrow{A B}+\frac{5}{2} \hat{i}-\frac{1}{2}\hat{j}-\frac{7}{2} \hat{k}=2\hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}
\overrightarrow{A B}=-\frac{1}{2} \hat{i}+\frac{7}{2} \hat{j}-\frac{5}{2} \hat{k}
|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}}
=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{49}{4}+\frac{25}{4}}
=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}
|\overrightarrow{B C}|=\frac{5 \sqrt{3}}{2}
|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|=\frac{5 \sqrt{3}}{2}
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{AD}=-\frac{5}{4}-\frac{7}{4}+\frac{35}{4}=\frac{23}{4}
\cos A=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}}{|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{AD}|}
\cos A=\frac{\frac{23}{4}}{\frac{5 \sqrt{3}}{2} \times \frac{5 \sqrt{3}}{2}}
\cos A=\frac{23}{75}
A=\cos ^{-1}\left(\frac{23}{75}\right)
दूसरा कोण (∠B)=\pi-\cos ^{-1}\left(\frac{23}{75}\right)
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