Exercise 26.1
Question 21
माना कि (Let) $\vec{a}=\hat{\imath}+4 \hat{\jmath}+2 \hat{k} ,b=\overrightarrow{3} \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+7 \hat{k}$ तथा (and) $\vec{c}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+4 \hat{k}$ एक ऐस्ता सदिश $\vec{d}$ ज्ञात करें जो $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ दोनों पर सम्ब हैं तथा $\vec{c} \cdot \vec{d}=15$.
Sol :
माना $\vec{d}=2 \hat{i}+y \hat{j}+2 \hat{k}$
∵$\vec{a},\vec{d}$ पर लंब है।
$\vec{a} \cdot \vec{d}=0$
x+4y+2z=0....(i)
∵$\vec{b},\vec{d}$ पर लंब है।
$\vec{b} \cdot \vec{d}=0$
3x-2y+7z=0....(ii)
∵$\vec{c}.\vec{d}=15$
2x-y+4z=15....(iii)
समीकरण (i) तथा (ii) सें,
x+4y+2z=0...(i)×1
3x-2y+7z=0....(ii)×2
$\begin{aligned} x+4 y+2 z&=0\\6 x-4 y+14 z&=0\\ \hline 7 x+16 z&=0....(iv)\end{aligned}$
समीकरण (ii) तथा (iii) से,
3x-2y+7z=0...(ii)×1
2x-y+4z=15...(iii)×2
$\begin{aligned}3x-2y+7z&=0\\ 2x-y+4z&=15 \\ \hline -x-z=-30$
x+z=30....(v)×7
$\begin{aligned} 7x+16z&=0\\7x+7z&=210\\ \hline 9z&=-210....(iv)\end{aligned}$
$z=\frac{-210}{9}=\frac{-70}{3}$
समीकरण (v) सें,
x+z=30
$x-\frac{70}{3}=30$
$x=\frac{160}{3}$
समीकरण (i) में x तथा z का मान रखने पर,
$y=-\frac{5}{3}$
$\therefore \vec{c}=\frac{160}{3} \hat{i}-\frac{5}{3} \hat{\jmath}-\frac{70}{3} \hat{k}$
$=\frac{5}{3}(32 \hat{\imath}-\hat{\jmath}-14 \hat{k})$
Question 22
(i) $\vec{b}+\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रहेय ज्ञात करें जहाँ [Find the projection of $\vec{b}+\vec{c}$ on $\vec{a}$, where $\vec{a}=\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\vec{k}, \vec{b}=\hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\vec{k}$ तथा (and) $\vec{c}=\hat{\imath}+\vec{k}$.Sol :
$\vec{b}+\vec{c}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$
$\vec{a}=\hat{a}+2 \hat{j}+\hat{k}$
$(\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}=2+6+2=10$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$
$\vec{b}+\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\vec{a}|}[\vec{b}+\vec{c}] \cdot \vec{a}$=1
$\vec{a}=\hat{a}+2 \hat{j}+\hat{k}$
$(\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}=2+6+2=10$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$
$\vec{b}+\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\vec{a}|}[\vec{b}+\vec{c}] \cdot \vec{a}$=1
$=\frac{1}{\sqrt{6}} \times 10=\frac{10}{\sqrt{6}}$
(ii) सदिश $\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$ का सदिश $4 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+7 \hat{k}$ पर प्रथेप ज्ञात करें।
Sol :
Sol :
मान $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \hat{b}=4 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+7 \hat{k}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=4+8+7=19$
$|\vec{b}|=\sqrt{4^{2}+(-7)^{2}+7^{2}}=\sqrt{16+16+49}$
$=\sqrt{81}=9$
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\vec{b}|} \cdot(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$=\frac{1}{9} \times 19=\frac{19}{9}$
$\vec{a} \cdot \vec{b}=4+8+7=19$
$|\vec{b}|=\sqrt{4^{2}+(-7)^{2}+7^{2}}=\sqrt{16+16+49}$
$=\sqrt{81}=9$
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\vec{b}|} \cdot(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$=\frac{1}{9} \times 19=\frac{19}{9}$
Question 23
यदि $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-4 \hat{k}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\hat{\jmath}+\hat{k}$ मूल बिन्दु O से गुजरती हुई दो सदिश है, तो
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ का $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करें । [the projection of $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ on $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ]
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ का $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ पर प्रक्षेप घात करें। [the projection of $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ on $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ ]
Sol :(i)
$\overrightarrow{O A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{OB}=\hat{j}+\hat{k}$
$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}=3-4=-1$
$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$
$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}=3-4=-1$
$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$
$|\overrightarrow{O B}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
(i) $\overrightarrow{OA}$ का $\overrightarrow{OB}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\overrightarrow{OB}|}(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB})$$=\frac{1}{\sqrt{2}} \times(-1)=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
(ii) $\overrightarrow{O B}$ का $\overrightarrow{O A}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\overrightarrow{OA}|} \cdot(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OA})$ $=\frac{1}{\sqrt{29}} \times(-1)$
$=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$
(ii) $\overrightarrow{O B}$ का $\overrightarrow{O A}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{|\overrightarrow{OA}|} \cdot(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OA})$ $=\frac{1}{\sqrt{29}} \times(-1)$
$=\frac{-1}{\sqrt{29}}$
Question 24
Question 25
Question 26
Question 27
P, Q. R, S बिन्दुए क्रमश: $\hat{\imath}-\hat{\jmath}-\hat{k},-\hat{\imath}+\hat{\jmath}, 2 \hat{\imath}-3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-\hat{k}$ हैं। दिखाएँ कि PQ का RS पर प्रर्धेप तथा RS का PQ पर प्रक्षेफ बराबर हैं तथा प्रत्येक $-4 / 3$ है।
Sol :
माना बिन्दुओं P,Q,R तथा S का स्थिति सदिशः
$\overrightarrow{O P}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, \quad \overrightarrow{OQ}=-\hat{i}+\hat{\jmath}$
$\overrightarrow{OR}=2 \hat{i}-3 \hat{k}, \overrightarrow{OS}=3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}$
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$
$\overrightarrow{R S}=\overrightarrow{O S}-\overrightarrow{O R}=3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}-2 \hat{i}+3 \hat{i}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$
$\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{R S}=\overrightarrow{R S} \cdot \overrightarrow{P Q}$
=-2-4+2=-4
$|PQ|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3$
$|\overrightarrow{R S}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$
$\overrightarrow{P Q}$ का $\overrightarrow{R S}$ पर प्रक्षेप $=\frac{1}{\mid \overrightarrow{RS}|}(\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{R S})$ $=\frac{1}{3}(-4)=\frac{-4}{3}$
$\overrightarrow{R S}$ का $\overrightarrow{PQ}$ $=\frac{1}{|\overrightarrow{PQ}|}(\overrightarrow{R S} \cdot \overrightarrow{P Q})$ $=\frac{1}{3}(-4)=\frac{-4}{3}$
Question 28
ज्ञात करें [Evaluate] $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})$
Sol :
$(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})=6 \vec{a} \cdot \vec{a}+21 \vec{a} \cdot \vec{b}-10 \vec{b} \cdot \vec{a}-35 \vec{b}. \vec{b}$
$=6|\vec{a}|^{2}+\left.21\vec{a} \cdot \vec{b}-10 \vec{a} \cdot \vec{b}-35| \vec{b}\right|^{2}$
$=6|\vec{a}|^{2}+11 \vec{a} \cdot \vec{b}-35|\vec{b}|^{2}$
Question 29
(i) सिद्ध कीजिए कि $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$, यदि और केबल यदि $\vec{a}, \vec{b}$ लंबवद् हैं। यह दिया हुभा है कि $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}$
Sol :
$\because \vec{a}+\vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$
LHS
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}$
$=|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}$
$=|\vec{a}|^{2}+0+0+|\vec{b}|^2$
(ii) सिद्ध करें कि [Prove that] $\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{a b}\right)^{2}$
Sol :
LHS
$\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right) \cdot\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)$
$=\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{a^{4}}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}-\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{a^{2} b^{2}}+\frac{\vec{b} \cdot \vec{b}}{b^{4}}$
$=\frac{a^{2}}{a^{4}}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left.a^{2}\right.b^{2}}-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2}-b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{4}}$
$=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 \vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}$
RHS
$\left(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{a b}\right)^{2}=\frac{(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{a^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{b}+b^{2}}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}}-\frac{2 \vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2} b^{2}}$
$=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 \vec{a} \cdot \vec{b}}{a^{2} b^{2}}$
$\therefore\left(\frac{\vec{a}}{a^{2}}-\frac{\vec{b}}{b^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{\vec{a}-\vec{b}}{a b}\right)^{2}$
Question 30
दिया है (Given that) $\vec{p}=\vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{q}=\vec{a}-\vec{b}$ तथा (and) $|\vec{a}|=|\vec{b}|$, दिखाए कि (show that) $\vec{p} \cdot \vec{q}=0$
Sol :
$\vec{p} \cdot \vec{q}=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})$
$=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{b}$
$=|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{b}-|\vec{b}|^{2}$
$=|\vec{b}|^{2}-|\vec{b}|^{2} \quad(\because|\vec{a}|=|\vec{b}|)$
$\vec{p} \cdot \vec{q}=0$
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