KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 26 दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Scalar or Dot Product of Two Vectors) Exercise 26.1 (Q31-Q40)

Exercise 26.1

Question 31

$|\vec{a}-\vec{b}|$ ज्ञात करें यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इस प्रकार है कि $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3$ तथा $\vec{a} \cdot \vec{b}=4$ .

Sol :

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})$

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a}.\vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}$

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}$

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=2^{2}-4-4+3^{2}$

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=4-8+9$

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=5 \Rightarrow|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}$

Question 32

$|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ ज्ञात करें यदि [Find $|\vec{a}|$ and $|\vec{b}|$ if $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ तथा (and) $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$ .

Sol :

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ तथा

$|\vec{a}|=8|\vec{b}|$

$\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{b}=8$

$|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{b}-| \vec{b}|^{2}=8$

$\begin{aligned}(8 \mid \vec{b})^{2}-|\vec{b}|^{2} &=8 \\ 64|\vec{b}|^{2}-|\vec{b}|^{2} &=8 \\ 63|\vec{b}|^{2} &=8 \\|\vec{b}|^{2} &=\frac{8}{63} \end{aligned}$

$|\vec{b}|=\sqrt{\frac{8}{63}} \Rightarrow|\vec{b}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$

$|\vec{a}|=8|\vec{b}|$

$\Rightarrow|\vec{a}|=8 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}=8 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$

Question 33

दर्शाइए कि दो शून्येत्वर सीदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सिए, $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ पर लंब है।

Sol :

$(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot(|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$

$=|\vec{a}| \cdot \vec{b}|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{a}| \vec{b} \cdot|\vec{b}| \vec{a}+|\vec{b}| \cdot \vec{a}|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \cdot \vec{a} \cdot(\vec{b}) \cdot \vec{a}$

$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}$

$\therefore|\vec{a}| \cdot \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}\perp|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$

Question 34

(i) यदि (If) $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3$ तथा (and) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ , तो दिखाएँ कि (then show that) $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-7$ .

Sol :

⇒

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$

⇒

$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}=0^{2}$

⇒

$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0$

⇒

$\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}$

$+\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{a}$

$+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}$

$+\vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{b}$

$+\vec{c} \cdot \vec{c}=0$

⇒

$1^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}+2^{2}+3^{2}=0$

⇒

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})+14=0$

⇒

$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-7$

(ii) मना लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार है कि $|\vec{a}|=3$ . $|\vec{b}|=4,|\vec{c}|=5$ . और झनमें से प्रत्येक, अन्य दो सदिशों के योगफल पर लंबवट् है तो, $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना

$\vec{a}, \vec{b}$ तथा

$\vec{c}$ तीन सदिश है

$\vec{a} \perp(\vec{b}+\overrightarrow{\vec{c}}), \vec{b} \perp(\overrightarrow{c}+\vec{a}), \vec{c} \perp(\vec{a}+\overrightarrow{{b}})$

$\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0, \vec{b} \cdot(\vec{c}+\vec{a})=0, \vec{c}(\vec{a}+\vec{b})=0$

$\vec{a} \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{a}=0 , \vec{b} \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{b}=0, \vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{c}=0$

जोड़ने पर,

$2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0$

$|\vec{a}+\vec{b}+\overrightarrow{c}|^{2}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

$=|\vec{a}|^{2}+|\vec{\imath}|^{2}+\left|\vec{c}^{2}\right|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+\overrightarrow{2} \vec{c}\cdot \vec{a}$

$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+0$

$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=50$

$|\vec{a}+\overrightarrow{b}+\vec{c}|=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$

(iii) तोन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ प्रतिबंध $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते है । यदि $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=4$ और $|\vec{c}|=2$ तो राशि $\mu=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए ।

Sol :

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{o}$

दोनो तरफ वर्ग करने पर

$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}=(\vec{o})^{2}$

$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0$

$|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0$

$1^{2}+4^{2}+2^{2}+2\left(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\right)=0$

$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=\frac{-21}{2}$

Question 35

सिद्ध करें कि किसी षटफलक के विकारी के वर्गो का योगफल उसके भुजाओं के वर्गो के योगफल के बराबर होता है।

Sol :

माना OABCDEFG षटफलक है,

तो सिद्ध करना है।

$|\overrightarrow{O E}|^{2}+|\overrightarrow{BG}|^{2}+|\overrightarrow{AD}|^{2}+|\overrightarrow{F C}|^{2}$

$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}$

$+|\overrightarrow{O C}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$

$+|\overrightarrow{CD}|^{2}+|\overrightarrow{AF}|^{2}$

$+|\overrightarrow{ED}|^{2}+|\overrightarrow{FE}|^{2}$

$+|\overrightarrow{GF}|^{2}+|\overrightarrow{GD}|^{2}$

प्रमाण

$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B E}$

$\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}$

$\overrightarrow{B G}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG}$

$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$

LHS

$=|\overrightarrow{O E}|^{2}+|\overrightarrow{B G}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{F C}|^{2}$

$=|\overrightarrow{O R}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}|^{2}+|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{O G}|^{2}$ $+|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}|^{2}$ $+|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|^{2}$

$=(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}) \cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E})$ $+(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG}) \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG})$ $+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}) \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C B})$ $+(\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})$

$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}+2 \cdot \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}$

$+2 \cdot \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B E}+2 \cdot \overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{O A}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{C O}|^{2}$

$\left|\overrightarrow{OG}\right|^{2}+2 \cdot \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C O}+2\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{OG}$

$+2 \overrightarrow{OG}.\overrightarrow{BC} +|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CD}|^{2}$

$+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}+2 \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{A B}$

$+|\overrightarrow{F A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}$

$+|\overrightarrow{B C}|^{2}+2 \overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{A B}$

$+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+2 \cdot \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{F A}$

$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$ +2(0)+2(0)+2(0)

$+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{OG}|^2$ +2(0)+2(0)+2(0)

$+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CD}|^{2}$ +2(0)+2(0)+2(0)

$+|\overrightarrow{FA}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}$ +2(0)+2(0)+2(0)

$=|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{OC}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$

$|\overrightarrow{CD}|^{2}+|\overrightarrow{A F}|^{2}+|\overrightarrow{OG}|^{2}+|\overrightarrow{ED}|^{2}$

$+| \overrightarrow{GD}|^{2}+|\overrightarrow{F E}|^{2}+|\overrightarrow{G F}|^{2}$

Question 36

दिखाएँ कि किसी समान्तर चुर्भुज के विकणो का योगफल उसके आसन्न भुजाओ के योगफल का दुगुना होता है।

Sol :

माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

तो सिद्ध करना है-

$|\overrightarrow{A C}|^{2}+|\overrightarrow{B D}|^{2}=2\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}\right)$

प्रमाण

$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{DC}$ $(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC})$

$\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{A B}$

LHS

$|\overrightarrow{AC}|^{2}+|\overrightarrow{B D}|^{2}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{B D}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C})+(\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A B}).(\overrightarrow{B C} - \overrightarrow{AB})$

$=|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+2 \overrightarrow{A B}. \overrightarrow{B C}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}-2.\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}$

$=2|\overrightarrow{A B}|^{2}+2|\overrightarrow{B C}|^{2}$

$=2\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}\right)$

Question 37

सादिर विधि से दिखाएँ कि किसी $\triangle \mathrm{ABC}$ में [Prove by vector method that in any $\triangle \mathrm{ABC}$ ]

(i) $\cos \mathrm{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

(ii) $a=b \cos \mathrm{C}+c \cos \mathrm{B}$

Sol :

(i)

माना ΔABC, में

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{B C}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}$

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{B C}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{CA})$

$\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B C}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}) \cdot\{-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A})\}$

$\vec{a} \cdot \vec{a}=(\vec{c}+\vec{b})(\vec{c}+\vec{b})$

$a^{2}=c^{2}+b^{2}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

$2 b c \cos A=b^{2}+c^{2}-a^{2}$

$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

(ii)

$\begin{aligned} \because \quad \overrightarrow{B C} &=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}) \\ \vec{a} &=-(\vec{c}+\vec{b}) \end{aligned}$

$\vec{a} \cdot \vec{a}=-\vec{a} \cdot(\vec{c}+\vec{b})$

$\vec{a} \cdot \vec{a}=-(\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{b})$

$a^{2}=-(a c \cos (\pi-8)+a b \cos (\pi-c))$

$a^{2}=-a(-c \cos B-b \cos C)$

$a=-(-c \cos B-b \cos C)$

a=ccosB+bcosC

a=bcosC+ccosB