Exercise 26.1
Question 31
$|\vec{a}-\vec{b}|$ ज्ञात करें यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इस प्रकार है कि $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3$ तथा $\vec{a} \cdot \vec{b}=4$.
Sol :
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a}.\vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=2^{2}-4-4+3^{2}$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=4-8+9$
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=5 \Rightarrow|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{5}$
Question 32
$|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ ज्ञात करें यदि [Find $|\vec{a}|$ and $|\vec{b}|$ if $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ तथा (and) $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$.
Sol :
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ तथा $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$
$\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{b}=8$
$|\vec{a}|^{2}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{b}-| \vec{b}|^{2}=8$
$\begin{aligned}(8 \mid \vec{b})^{2}-|\vec{b}|^{2} &=8 \\ 64|\vec{b}|^{2}-|\vec{b}|^{2} &=8 \\ 63|\vec{b}|^{2} &=8 \\|\vec{b}|^{2} &=\frac{8}{63} \end{aligned}$
$|\vec{b}|=\sqrt{\frac{8}{63}} \Rightarrow|\vec{b}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$
$|\vec{a}|=8|\vec{b}|$
$\Rightarrow|\vec{a}|=8 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}=8 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{7}}$
दर्शाइए कि दो शून्येत्वर सीदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सिए, $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ पर लंब है।
Sol :
$(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot(|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$
$=|\vec{a}| \cdot \vec{b}|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{a}| \vec{b} \cdot|\vec{b}| \vec{a}+|\vec{b}| \cdot \vec{a}|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \cdot \vec{a} \cdot(\vec{b}) \cdot \vec{a}$
$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}$
=0
$\therefore|\vec{a}| \cdot \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}\perp|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$
(i) यदि (If) $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3$ तथा (and) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$, तो दिखाएँ कि (then show that) $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-7$.
Sol :
⇒$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$
⇒$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}=0^{2}$
⇒$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0$
⇒$\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}$ $+\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{a}$ $+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}$ $+\vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{b}$ $+\vec{c} \cdot \vec{c}=0$
⇒$1^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}+2^{2}+3^{2}=0$
⇒$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})+14=0$
⇒$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-7$
(ii) मना लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार है कि $|\vec{a}|=3$. $|\vec{b}|=4,|\vec{c}|=5$. और झनमें से प्रत्येक, अन्य दो सदिशों के योगफल पर लंबवट् है तो, $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना $ \vec{a}, \vec{b}$ तथा $ \vec{c} $ तीन सदिश है
$\vec{a} \perp(\vec{b}+\overrightarrow{\vec{c}}), \vec{b} \perp(\overrightarrow{c}+\vec{a}), \vec{c} \perp(\vec{a}+\overrightarrow{{b}})$
$\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0, \vec{b} \cdot(\vec{c}+\vec{a})=0, \vec{c}(\vec{a}+\vec{b})=0$
$\vec{a} \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{a}=0 , \vec{b} \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{b}=0, \vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{c}=0$
जोड़ने पर,
$2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\overrightarrow{c}|^{2}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$
$=|\vec{a}|^{2}+|\vec{\imath}|^{2}+\left|\vec{c}^{2}\right|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+\overrightarrow{2} \vec{c}\cdot \vec{a}$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=50$
$|\vec{a}+\overrightarrow{b}+\vec{c}|=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$
(iii) तोन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ प्रतिबंध $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते है । यदि $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=4$ और $|\vec{c}|=2$ तो राशि $\mu=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
Sol :
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{o}$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}=(\vec{o})^{2}$
$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0$
$|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0$
$1^{2}+4^{2}+2^{2}+2\left(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\right)=0$
$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=\frac{-21}{2}$
सिद्ध करें कि किसी षटफलक के विकारी के वर्गो का योगफल उसके भुजाओं के वर्गो के योगफल के बराबर होता है।
Sol :
माना OABCDEFG षटफलक है,
तो सिद्ध करना है।
$|\overrightarrow{O E}|^{2}+|\overrightarrow{BG}|^{2}+|\overrightarrow{AD}|^{2}+|\overrightarrow{F C}|^{2}$
$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}$ $+|\overrightarrow{O C}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$ $+|\overrightarrow{CD}|^{2}+|\overrightarrow{AF}|^{2}$ $+|\overrightarrow{ED}|^{2}+|\overrightarrow{FE}|^{2}$ $+|\overrightarrow{GF}|^{2}+|\overrightarrow{GD}|^{2}$
प्रमाण
$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B E}$
$\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}$
$\overrightarrow{B G}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG}$
$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$
LHS
$=|\overrightarrow{O E}|^{2}+|\overrightarrow{B G}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{F C}|^{2}$
$=|\overrightarrow{O R}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}|^{2}+|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{O G}|^{2}$ $+|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}|^{2}$ $+|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|^{2}$
$=(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}) \cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E})$ $+(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG}) \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{OG})$ $+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}) \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C B})$ $+(\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})$
$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}+2 \cdot \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}$ $+2 \cdot \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B E}+2 \cdot \overrightarrow{B E} \cdot \overrightarrow{O A}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{C O}|^{2}$ $\left|\overrightarrow{OG}\right|^{2}+2 \cdot \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C O}+2\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{OG}$ $+2 \overrightarrow{OG}.\overrightarrow{BC} +|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CD}|^{2}$ $+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}+2 \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{A B}$ $+|\overrightarrow{F A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}$ $+|\overrightarrow{B C}|^{2}+2 \overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{A B}$ $+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+2 \cdot \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{F A}$
$=|\overrightarrow{O A}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$+2(0)+2(0)+2(0)$+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{OG}|^2$+2(0)+2(0)+2(0)$+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{CD}|^{2}$+2(0)+2(0)+2(0)$+|\overrightarrow{FA}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}$+2(0)+2(0)+2(0)
$=|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{OC}|^{2}+|\overrightarrow{BE}|^{2}$ $|\overrightarrow{CD}|^{2}+|\overrightarrow{A F}|^{2}+|\overrightarrow{OG}|^{2}+|\overrightarrow{ED}|^{2}$ $+| \overrightarrow{GD}|^{2}+|\overrightarrow{F E}|^{2}+|\overrightarrow{G F}|^{2}$
दिखाएँ कि किसी समान्तर चुर्भुज के विकणो का योगफल उसके आसन्न भुजाओ के योगफल का दुगुना होता है।
Sol :
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
तो सिद्ध करना है-
$|\overrightarrow{A C}|^{2}+|\overrightarrow{B D}|^{2}=2\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}\right)$
प्रमाण
$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{DC}$ $(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC})$
$\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{A B}$
LHS
$|\overrightarrow{AC}|^{2}+|\overrightarrow{B D}|^{2}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{B D}$
$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B C})+(\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A B}).(\overrightarrow{B C} - \overrightarrow{AB})$
$=|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+2 \overrightarrow{A B}. \overrightarrow{B C}+|\overrightarrow{B C}|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}-2.\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}$
$=2|\overrightarrow{A B}|^{2}+2|\overrightarrow{B C}|^{2}$
$=2\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{B C}|^{2}\right)$
सादिर विधि से दिखाएँ कि किसी $\triangle \mathrm{ABC}$ में [Prove by vector method that in any $\triangle \mathrm{ABC}$ ]
(i) $\cos \mathrm{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$
(ii) $a=b \cos \mathrm{C}+c \cos \mathrm{B}$
Sol :
(i)
माना ΔABC, में $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{B C}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}$
$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{B C}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{CA})$
$\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B C}=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}) \cdot\{-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A})\}$
$\vec{a} \cdot \vec{a}=(\vec{c}+\vec{b})(\vec{c}+\vec{b})$
$a^{2}=c^{2}+b^{2}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$
$2 b c \cos A=b^{2}+c^{2}-a^{2}$
$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$
(ii)
$\begin{aligned} \because \quad \overrightarrow{B C} &=-(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}) \\ \vec{a} &=-(\vec{c}+\vec{b}) \end{aligned}$
$\vec{a} \cdot \vec{a}=-\vec{a} \cdot(\vec{c}+\vec{b})$
$\vec{a} \cdot \vec{a}=-(\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{a} \cdot \vec{b})$
$a^{2}=-(a c \cos (\pi-8)+a b \cos (\pi-c))$
$a^{2}=-a(-c \cos B-b \cos C)$
$a=-(-c \cos B-b \cos C)$
a=ccosB+bcosC
a=bcosC+ccosB
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