KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवम सर्वसमिकाए ( Trigonometry Ratios and Identities ) Exercise 8.4 (Q41-Q53)

Exercise 8.4

Type IV : शंर्त वाले सर्वसमिकाओं पर आधारित प्रश्न :

Question 41

यदि $\sec \theta+\tan \theta=m$ और $\sec \theta-\tan \theta=n$, तो सिद्ध करें कि $\sqrt{m n}=1$

Sol :

LHS

$\sqrt{m n}=\sqrt{\sec \theta+\tan \theta(\sec \theta-\tan \theta)}$

$\sqrt{\sec ^{2} \theta-\sec \theta \times \tan \theta+\sec \theta \times \tan \theta-\tan ^{2} \theta}$

$\sqrt{\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta}=\sqrt{1}$

=1 proved

Question 42

यदि $\cos \theta+\sin \theta=1$, तब सिद्ध करें कि $\cos \theta-\sin \theta=\pm 1$

Sol :

माना $-\cos \theta-\sin \theta=\mathrm{x}$

दिया है - $\cos \theta+\sin \theta=1$

दोनों को वर्ग करने पर

$(\cos \theta-\sin \theta)^{2}+(\cos \theta+\sin \theta)^{2}=x^{2}+1^{2}$

$\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta-2 \cos \theta \cdot \sin \theta+\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+2 \cos \theta \cdot \sin \theta=x^{2}+1^{2}$

$\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=x^{2}+1$

$1+1=x^{2}+1$

$2=x^{2}+1$

$x^{2}+1=2$

$x^{2}=2-1$

$x=\sqrt{1}$

$x=\pm 1$

$\cos \theta+\sin \theta=x$

$\cos \theta+\sin \theta=\pm 1$

Question 43

यदि $\sin \theta+\sin ^{2} \theta=1$. तब सिद्ध करें कि $\cos ^{2} \theta+\cos ^{4} \theta=1$

Sol :

$\sin \theta+\sin ^{2} \theta=1$

$\sin \theta=1-\sin ^{2} \theta$

$\sin \theta+\cos ^{2} \theta$

LHS

$\cos ^{2} \theta+\cos ^{4} \theta$

$\cos ^{2} \theta+\left(\cos ^{2} \theta\right)^{2}$

$\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta$

=1 proved

Question 44

यदि $\tan \theta+\sec \theta=x$. सिद्ध करें कि $\sin \theta=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

Sol :

$\sec \theta+\tan \theta=\mathrm{x}$....(i)

हम जानते है कि $\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta=1$

$(\sec \theta-\tan \theta)(\sec \theta+\tan \theta)=1$

$(\sec \theta-\tan \theta) \cdot x=1$

$\sec \theta-\tan \theta=\frac{1}{x}$...(ii)

सामीकरण (i) तथा (ii) से

$\sec \theta+\tan \theta=x$

$\sec \theta-\tan \theta=\frac{1}{x}$

$2 \sec \theta=x+\frac{1}{x}$

$2 \sec \theta=\frac{x^{2}+1}{x}$

$\sec \theta=\frac{x^{2}+1}{2 x}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$

$\mathrm{AB}=\sqrt{(\mathrm{AC})^{2}-(\mathrm{BC})^{2}}$

$\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{2}-(2 \mathrm{x})^{2}}$

$\mathrm{AB}=\sqrt{\left(\left(x^{2}\right)^{2}+(1)^{2}+2 \cdot x^{2} \cdot 1\right)-4 x^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+1+2 x^{2}-4 x^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}-2 x^{2}+1}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$

$A B=x^{2}-1$

$\sin \theta=\frac{A B}{A C}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

$\sin \theta=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

Question 45

यदि $\sin \theta+\cos \theta=p$ और $\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta=q$, तब सिद्ध करें कि $q\left(p^{2}-1\right)=2 p$

Sol :

LHS

$\mathrm{q}\left(\mathrm{p}^{2}-1\right)$

$(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^{2}-1\right]$

$\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\left[\sin ^{2} \theta+\cos \theta^{2}+2 \sin \theta \cdot \cos \theta-1\right]$

$\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}[1+2 \sin \theta \cdot \cos \theta- 1]$

$\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta} \times 2 \sin \theta \cdot \cos \theta$

=2p proved

Question 46

यदि $x \cos \theta=a$ और $y=a \tan \theta$, तब सिद्ध करें कि $x^{2}-y^{2}=a^{2}$

Sol :

$x \cos \theta=a$

$x=\frac{a}{\cos \theta}$

$x=a \sec \theta, \quad y=a \tan \theta$

दोनों को वर्ग करके घटाने पर 

$x^{2}-y^{2}=(a \sec \theta)^{2}-(a \tan \theta)^{2}$

$x^{2}-y^{2}=a^{2} \sec ^{2} \theta-a^{2} \tan ^{2} \theta$

$x^{2}-y^{2}=a^{2}\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)$

$x^{2}-y^{2}=a^{2}(1)^{2}$

$x^{2}-y^{2}=a^{2}$

Question 47 (to be fixed)

यदि $x=r \cos \alpha$. $\sin \beta, y=r \cos \alpha \cdot \cos \beta, z=r \sin \alpha$, तब सिद्ध करें कि $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r$ ?

Sol :

LHS

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(r \cos \alpha \cdot \sin \beta)^{2}+(r \cos \alpha \cdot \cos \beta)^{2}+(r \sin \alpha)^{2}$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \cos ^{2} \alpha \cdot \sin ^{2} \beta+r^{2} \cos ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \beta+r \sin ^{2} \alpha$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \cos ^{2} \alpha\left(\sin ^{2} \beta+\cos ^{2} \beta\right)+r^{2} \sin ^{2} \alpha$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \cos ^{2} \alpha(1)+r^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \cos ^{2} \alpha+r^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}(1)^{2}$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}=$ R.H.S.

Question 48

यदि $\sec \theta-\tan \theta=x$, तब सिद्ध करें कि

(i) $\cos \theta=\frac{2 x}{1+x^{2}}$

(ii) $\sin \theta=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$

Sol :

$\sec \theta-\tan \theta=\mathrm{x}$...(i)

हम जानते है कि $\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)=1$

$(\sec \theta+\tan \theta)(\sec \theta-\tan \theta)=1$

$(\sec \theta+\tan \theta) \cdot \mathrm{x}=1$

$\sec \theta+\tan \theta=\frac{1}{x}-$ (ii)

सामीकरण (i) तथा (ii) से

$\sec \theta-\tan \theta=x$

$\sec \theta+\tan \theta=\frac{1}{x}$

$2 \sec \theta=x+\frac{1}{x}$

$2 \sec \theta=\frac{x^{2}+1}{x}$

$\sec \theta=\frac{x^{2}+1}{2 x}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$

$A B=\sqrt{(A C)^{2}-(B C)^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{2}-(2 x)^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+(1)^{2}+2 x^{2} \cdot 1-4 x^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+1+2 x^{2}-4 x^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+1-2 x^{2}}$

$A B=\sqrt{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$

$A B=x^{2}-1$

$\cos \theta=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{2 x}{x^{2}+1}$

$\sin \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

Question 49

यदि $a \cos \theta+b \sin \theta=c$, तब सिद्ध करें कि $a \sin \theta-b \cos \theta=\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

Sol :

माना $-\mathrm{a} \sin \theta-\mathrm{b} \cos \theta=\mathrm{x}$...(i)

दिया है - $\mathrm{a} \cos \theta+\mathrm{b} \sin \theta=\mathrm{c}$...(ii)

दोनों को वर्ग करके जोड़ने पर

$(a \sin \theta-b \cos \theta)^{2}+(a \cos \theta+b \sin \theta)^{2}=x^{2}+c^{2}$

$a^{2} \sin ^{2} \theta+b^{2} \cos ^{2} \theta-2 a \sin \theta \cdot b \cos \theta+a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta+$ $2 a \cos \theta \cdot b \sin \theta=x^{2}+c^{2}$

$a^{2} \sin ^{2} \theta+b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta=x^{2}+c^{2}$

$\left(a^{2} \sin ^{2} \theta+a^{2} \cos ^{2} \theta\right)+\left(b^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta\right)=x^{2}+c^{2}$

$a^{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)+b^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)=x^{2}+c^{2}$

$a^{2}=1+b^{2} \times 1=x^{2}+c^{2}$

$a^{2}+b^{2}=x^{2}+c^{2}$

$x^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}$

$x^{2}=a^{2}+b^{2}-c^{2}$

$x=\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

$x=\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

 

Question 50

यदि $1+\sin ^{2} \theta=3 \sin \theta \cdot \cos \theta$, तब सिद्ध करें कि $\tan \theta=1$ या, $\frac{1}{2}$, जहाँ $\theta<90^{\circ}$

Sol :

$1+\sin ^{2} \theta-3 \sin \theta \cos \theta$

दोनों तरफ $\cos ^{2} \theta$ से भाग देने पर

$\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta}=\frac{3 \cdot \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta}$

$\sec ^{2} \theta+\tan ^{2} \theta=3 \tan \theta$

$1+\tan ^{2} \theta+\tan ^{2} \theta-3 \tan \theta=0$

$1+2 \tan ^{2} \theta-3 \tan \theta=0$

$2 \tan ^{2} \theta-3 \tan \theta+1=0$

$2 \tan ^{2} \theta-2 \tan \theta-\tan \theta+1=0$

$2 \tan \theta(\tan \theta-1)-1(\tan \theta-1)=0$

$\begin{array}{r|rl}(\tan \theta-1) & 2 \tan \theta & -1 \\\tan \theta=1 & 2 \tan \theta & =1 \\&\tan \theta &=\frac{1}{2}\end{array}$

$\tan \theta=1$ या $\frac{1}{2}$

Question 51

यदि $a \cos \theta-b \sin \theta=x$ और $a \sin \theta+b \cos \theta=y$, तो सिद्ध करें कि $a^{2}+b^{2}=x^{2}+y^{2}$

Sol :

$a \cos \theta-b \sin \theta=x$....(i)

$a \sin \theta+b \cos \theta=y$.....(ii)

दोनों समीकरण को वर्ग करके जोड़ने पर

$(a \cos \theta-b \sin \theta)^{2}+(a \sin \theta+b \cos \theta)=x^{2}+y^{2}$

$a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta-2 a \cos \theta \cdot b \sin \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta+b^{2} \cos ^{2} \theta+2 a \sin \theta \cdot b \cos \theta=x^{2}+y^{2}$

$a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta+b^{2} \cos ^{2} \theta=x^{2}+y^{2}$

$\left(a^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\left(b^{2} \sin ^{2} \theta+b^{2} \cos ^{2} \theta\right)=x^{2}+y^{2}$

$a^{2} \times 1+b^{2} \times 1=x^{2}+y^{2}$

$a^{2}+b^{2}=x^{2}+y^{2}$

Question 52

यदि $x=a \sec \theta+b \tan \theta$ और $y=a \tan \theta+b \sec \theta$, तो सिद्ध करें कि $x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2}$

Sol :

$x=a \sec \theta+b \tan \theta$...(i)

$y=a \tan \theta+b \sec \theta$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को वर्ग करके घटाने पर

$x^{2}-y^{2}=(a \sec \theta-b \tan \theta)^{2}-(a \tan \theta+b \sec \theta)^{2}$

$x^{2}-y^{2}=a^{2} \sec ^{2} \theta+b^{2} \tan ^{2} \theta+2 a \sec \theta \cdot b \tan \theta-\left(a^{2} \tan ^{2} \theta+b^{2} \sec ^{2} \theta+\right. 2 \operatorname{atan} \theta \cdot b \sec \theta)$

$x^{2}-y^{2}=a^{2} \sec ^{2} \theta+b^{2} \tan ^{2} \theta+2 a \sec \theta \cdot b \tan \theta-a^{2} \tan ^{2} \theta-b^{2} \sec ^{2} \theta-2 a \tan \theta \cdot b \sec \theta$

$x^{2}-y^{2}=a^{2} \sec ^{2} \theta+b^{2} \tan ^{2} \theta-a^{2} \tan ^{2} \theta-b^{2} \sec ^{2} \theta$

$x^{2}-y^{2}=a^{2} \sec ^{2} \theta-a^{2} \tan ^{2} \theta+b^{2} \tan ^{2} \theta-b^{2} \sec ^{2} \theta$

$x^{2}-y^{2}=a^{2}\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)-b^{2}\left(\tan ^{2} \theta-\sec ^{2} \theta\right)$

$x^{2}-y^{2}=a^{2}\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)-b^{2}\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)$

$x^{2}-y^{2}=a^{2}-b^{2}$

Question 53

यदि $\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin \theta+2 a b \cos \theta=a^{2}+b^{2}$, तो सिद्ध करें कि $\tan \theta=\frac{a^{2}-b^{2}}{2 a b}$

Sol :

$\left(a^{2}-b^{2}\right) \sin \theta+2 a b \cos \theta=a^{2}+b^{2}$

दोनों तरफ $\cos \theta$ से भाग देने पर

$\left(a^{2}-b^{2}\right) \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}+(2 a b) \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta}=\frac{a^{2}}{\cos \theta}$

$a^{2}-b^{2} \tan \theta+2 a b=a^{2} \sec \theta+b^{2} \sec \theta$

$a^{2}-b^{2} \tan \theta+2 \mathrm{ab}=a^{2}+b^{2}(\sec \theta)$

$a^{2}-b^{2} \tan \theta+2 \mathrm{ab}=\left(a^{2}+b^{2}\right) \sqrt{1+\tan ^{2} \theta}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर

$\left[\left(a^{2}-b^{2}\right) \tan \theta+2 a b\right]^{2}=\left[\left(a^{2}-b^{2}\right) \sqrt{1+\tan ^{2}} \theta\right]^{2}$

$\left(a^{2}-b^{2} \tan \theta\right)^{2}+(2 a b)^{2}+2\left(a^{2}-b^{2}\right) \tan \theta \cdot 2 a b=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}+\left(1+\tan ^{2} \theta\right)$

$\left(a^{2}-b^{2}\right) \times \tan ^{2} \theta+4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) \times \tan \theta+4 a^{2} b^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2} \times \tan ^{2} \theta$

$\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2} \times \tan ^{2} \theta-\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2} \tan ^{2} \theta+4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) \tan \theta+4 a^{2} b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=0$

$\left[a^{4}-2 a^{2} \cdot b^{2}+b^{4}-a^{4}-2 a^{2} \cdot b^{2}-b^{4}\right] \tan ^{2} \theta+4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right)\tan \theta+4 a^{2} \cdot b^{2}-a^{4}-b^{4} 2 a^{2} b^{2}=0$

$-4 a^{2} \cdot b^{2} \times \tan ^{2} \theta+4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) \tan \theta-a^{2}-b^{4}+2 a^{2} \cdot b^{2}=0$

$4 a^{2} \cdot b^{2} \times \tan ^{2} \theta-4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) \tan \theta+a^{4}+b^{4}-2 a^{2} \cdot b^{2}=0$

$4 a^{2} \cdot b^{2} \times \tan ^{2} \theta-4 a b\left(a^{2}-b^{2}\right) \tan\theta+\left(a^{2}\right)^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}-2 a^{2} \cdot b^{2}=0$

$(2 a b \tan \theta)^{2}-2 \cdot 2 a b \tan \theta\left(a^{2}-b^{2}\right)+\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}=0$

$\left[2 a b \tan \theta-\left(a^{2}-b^{2}\right)\right]^{2}=0$

$2 a b \tan \theta-\left(a^{2}-b^{2}\right)=0$

$2 a b \tan \theta=a^{2}-b^{2}$

$\tan \theta=\frac{a^{2}-b^{2}}{2 a b}$