KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 11 वृत्त (Circle ) Exercise 11.1

 Exercise 11.1

Type I : किसी दिए हुए अनुपात मे किसी रेखाखण्ड को अन्तः या बाह्यः रूप से विभाजित करने पर आधारित प्रश्न :

CATEGORY-A

Question 1

4.2 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 5: 3 के अनुपात में अन्तः विभाजित कीजिए । रचना के चरण भी लिखें।

Sol :

रचना के चरण-

(1) AB=4.2 एक रेखाखैण्ड खींचा।

(2) ∠BAX=न्यूनकोण A सें X दिशा में।

(3) AX की दिशा में (5+3=8) बिन्दु A₁, A₂, A₃..... A₈ 

AA₁=A₁A₂=A₂A₃........A₇A₈

(4)  A₅ में A₅ को बिन्दु P से जो की AB रेखाखंण्ड में है। वह समांतर होगा A₅B

(5) AB में बिन्दु P प्राप्त होता है। वह रेखा खंण्ड को 5 : 3 में विभाजित करता है।

Question 2

3.2 cm लम्बा एक रेखाखण्ड को 3: 5 के अनुपात में अन्तः विभक्त कीजिए ।

Sol :

रचना के चरण-

(1) 3.5 cm का एक रेखाखण्ड AB खींचे।

(2) AB से बिन्दु A पर एक किरण AX खींचे।

(3) बिन्दु A पर न्यूनकोण बनाये। सुविधा के लिए वह कोण 60° हो।

(4) A से AX किरण पर (3+5=8) बिन्दु A₁, A₂, A₃..... A₈ निरूपित करें।

(5) A₃ से  A₃C ||  A₈B है।

रचना का औचित्या:-

मान लीजिए AA₁=A₁A₂=x तथा ΔA A₈B में A₃C || A₈B

∴आधार भूत अनुपातिक प्रमेंय से

$\frac{A C}{C B}=\frac{A A_{3}}{A_{3} A_{8}}=\frac{3 x}{5 x}=\frac{3}{5}$

AC : CB = 3 : 5

Question 3

5.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचें और इसे 5: 8 के अनुपात में अन्तः विभक्त करें। दोनों भागों को मापें ।

Sol :

Question 4

7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिये और इसे 5: 8 के अनुपात में अन्तः विभक्त (विभाजित) कीजिए। दोनों भागों को मापिए । रचना का औचित्य भी दीजिए ।

Sol :

रचना के पद:-

(1) सर्वप्रथम 7.6 cm लम्बी AB एक रेखा खींची।

(2) बिन्दु A से AB के साथ न्यूनकोण बनाती हुई AX एक रेखा खींची।

(3) AX पर A(5+8=13) बिन्दु A₁ , A₂ ..............A₁₃ अंकित किए।

(4) A₁₃B को मिलाया ।

(5) A₁₃B के समान्तर एक रेखा A₅ से A₅C खींची । यह AB को बिंदु C पर काटती हैं।

(6) अंतः AC : CB= 5 : 8 होगी ।

रचना की औचित्या:-

ΔAA₅C और ΔAA₁₃B

A₅C || A₁₃B

$\frac{A C}{B C}=\frac{A A_{5}}{A_{5} A_{13}}=\frac{5}{8}$

AC : BC = 5 : 8

CATEAGORY-B

Question 5

AB=2 cm का रेखाखण्ड खींचें। इसे निम्नलिखित अनुपात में बहिर्विभक्त करें।

(i) 5: 3

Sol :

(ii) 3: 5

Sol :

Type II : दत्त त्रिभुज के समरूप त्रिभुज बनाने पर आधारित प्रश्न :

CATEGORY-A

Question 6

एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें AB=2.3 cm, BC=4 cm तथा AC=2.9 cm और तब एक दूसरा त्रिभुज, त्रिभुज ABC के समरूप बनाइए जिसकी संगत भुजाएँ पहले त्रिभुज की भुजाओं का $\frac{2}{3}$ हैं। रचना के चरण को भी लिखें।

Sol :

Question 7

4 cm, 5 cm एवं 6 cm भुजाएँ वाले त्रिभुज की रचना कीजिए और तब इसके समरूप एक त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं का $\frac{2}{3}$ वाँ भाग हो ।

Sol :

रचना के पद:-

(1) एक ΔABC की रचना इस प्रकार करो की BC=6 cm, AC=5 cm और AB=4 cm है।

(2) एक किरण BX इस प्रकार खीचों की ∠CBX एक नयूनकोंण हो।

(3) BX पर तीन बिन्दु X₁ ,X₂ ,और X₃ इस प्रकार अंकित करो की

BX₁=X₁X₂=X₂X₃

(4) X₃ और C कोंं मिलाओ । 

(5) X₂ से एक रेखा X₃C के समान्तर खींचो जो BA को A' पर मिले। इस प्रकार अभिष्ठ ΔABC' है।

सत्यापन रचना से हमें प्राप्त है कि ।

X₃C || X₃C' 

परन्तु $\frac{BX_2}{X_{2}X_{3}}=\frac{B C^{\prime}}{C^{\prime} C}$

$\frac{B X_{2}}{X_{2}X3}=\frac{2}{1} \Rightarrow \frac{B C^{\prime}}{C^{\prime} C}=\frac{2}{1}$

Question 8

$\triangle \mathrm{ABC}$ की रचना करें जिसमें BC=6 cm, AB=5 cm और $\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$, तब एक समरूप त्रिभुज बनायें जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं का $\frac{3}{4}$ वाँ भाग हैं।

Sol :

CATEGORY-B

Question 9

एक समकोण त्रिभुज बनाइए जिसमें भुजाओं (कर्ण को छोड़कर) की लम्बाइयाँ 2.2 cm और 2.2 cm हैं। तब एक दूसरा समरूप त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाए पहले त्रिभुज की भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हों ।

Sol :

Question 10

एक समद्विबाहु त्रिभुज बनायें जिसका आधार 3.2 cm तथा ऊँचाई 1.7 cm हैं। तब एक दूसरा त्रिभुज बनाइये जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की $1 \frac{1}{2}$ गुनी हों।

Sol :

Question 11

एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC=4 cm, $\angle \mathrm{B}=45^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{C}=30^{\circ}$ है। तब एक दूसरे त्रिभुज की रचना करें जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं का $\frac{4}{3}$ गुनी हों ।

Sol :

Question 12

एक दिए हुए समद्वियाह  त्रिभुज PQR जिसकी भुजाएँ QR=2.8 cm कथा PQ=2.5 cm हैं , के समरूप एक दूसरे त्रिभुज की रचना इस प्रकार कीजिए, कि दूसरे त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पहले त्रिभुज PQR को संगय भुजाओं के $\frac{6}{7}$ वाँ भाग हो ।

Sol :

Question 13

एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें AB=2.6 cm, $\angle \mathrm{B}=60^{\circ}$ तथा ऊँचाई CD=1.8 cm । एक दूसर त्रिभुग AQR, $\triangle \mathrm{ABC}$ के समरूप इस प्रकार बनाइए कि $\triangle \mathrm{AQR}$ की प्रत्येक भुजा, पहले $\triangle \mathrm{ABC}$ की संगत भुजाओं के 1.5 गुनी हो ।

Sol :

Question 14

एक समद्वियादु त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 8 cm तथा ऊँचाई 4 cm है। एक दुसरा त्रिभुज बनाइये जिसकी भुजाएँ, समद्विजा त्रिभुत की संगत भुगाओं की $1 \frac{1}{2}$ गुनो हो।

Sol :

Question 15

एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के आतिरिक्त) 4 cm एंब 3 cm लम्बाई की हैं। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनो हों।

Sol :

Question 16

एक $\triangle \mathrm{ABC}$ बनादये, किसमे BC=3 cm ,$\angle \mathrm{B}=45^{\circ}$, तथा $\angle \mathrm{A}=105^{\circ}$ हो । फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ, $\triangle \mathrm{ABC}$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{3}$ गुनी है।

Sol :

Type III : वृत्त के किसी दिए बिन्दु से वृत की समां रेखा की रचना कराना :- 

CATECORY-A

Question 17

4 cm की त्रिज्या का एक वृत्त खींचें । इस पर एक बिन्दु P अंकित करें। P पर वृत्त की एक स्पर्श-रेखा खींचें ।

Sol :

Question 18

3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचे । वृत्त का कोई व्यास खींच लें। वृत्त के व्यास के अन्तः बिन्दुओं पर वृत्त की स्पर्श रेखायें खींचें। क्या वे समान्तर है?

Sol :

CATECORY-B

Question 19

5 cm त्रिज्या का वृत्त की रचना करें। वृत्त पर एक बिन्दु P अंकित करें। बिना केन्द्र का उपयोग किये P पर वृत्त की स्पर्श-रेखा की रचना करें।

Sol :

Type IV : वृत्त के बाहर के किसी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचना :

CATEGORY-A

Question 20

6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचें। इसके केन्द्र से 10 cm की दूरी पर एक बिन्दु P अंकित करें। इस बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखा युग्म खींचें और उसकी लम्बाइयाँ मापें ।

Sol :

Question 21

केन्द्र O से 2 cm और 4 cm त्रिज्या लेकर दो संकेन्द्रीय वृत्त खींचें। बाहरी वृत्त के एक बिन्दु से भीतरी वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खींचिए।

Sol :

Question 22

4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और इसकी लम्बाई मापिये । परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए। 

Sol :

Question 23

3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए । इसके किसी बढ़ाये गये व्यास पर केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखायें खींचिए।

Sol :

CATEGORY-B

Question 24

एक वृत्त 5 cm त्रिज्या का खींचें। वृत्त के बाहर एक बिन्दु P अंकित करें। केन्द्र का प्रयोग किए बिना वृत्त पर दिए गये बिन्दु से स्पर्श रेखा खींचिए।

Sol :

Type V : किसी दिए कोण पर झुके वृत्त की स्पर्श रेखायें खींचना :

Question 25

4 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचें। इस वृत्त पर दो स्पर्श रेखायें इस प्रकार खींचिए कि उनके बीच $135^{\circ}$ का कोण हो।

Sol :

Question 26

5 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से एक रेखा खींचिये । इस रेखा से $45^{\circ}$ के कोण पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा खींचिए। स्पर्श रेखा की लम्बाई क्या है ?

Sol :

Question 27

2.3 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो परस्पर $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हों।

Sol :