Exercise 27.1
Question 11
दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के तल पर लम्ब इकाई सदिश निकालें, जहाँ
(i) $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}$ तथा (and) $\vec{b}=\hat{j}+\hat{k}$
(ii) $\vec{a}=4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ तथा (and) $\vec{b}=-2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$
Sol :
(i)
$\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}$ , $\vec{b}=\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right|$
$=\hat{\imath}(-1-0)-\hat{j}(1-0)+\hat{k}(1+0)$
$\hat{a} \times \hat{b}=-\hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}$
माना $\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}$
$|\vec{c}|=|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$
$=-\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}-\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{\jmath}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$
Question 12
निम्नलिखित सदिशों में से प्रत्येक पर लम्ब एक इकाई (मात्रक) सदिश निकालें। [Find unit vectors perpendicular to each of the following vectors.]
(i) $2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$
(ii) $2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$
(iii) $4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, 2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$
Sol :
(i) माना $\vec{a}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right|$
$=\hat{i}(9+2)-\hat{j}(6+1)+\hat{k}(4-3)$
$\vec{a} \times \vec{b}=11 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k}$
$|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{11^{2}+(-7)^{2}+1^{2}}$
$=\sqrt{121+49+1}=\sqrt{171}$
$=\sqrt{19 \times 9 }=3\sqrt{19}$
$\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ पर लंम्ब इकाई सदिश $=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$
$=\frac{11 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k}}{3 \sqrt{19}}$
$=\frac{7}{3 \sqrt{19}}(11 \hat{\imath}-7 \hat{\jmath}+\hat{k})$
Question 13
निम्नलिखित सदिशों में से प्रत्येक पर लम्ब एक सदिश निकालें।
[Find a vector which is perpendicular to each of the vectors in the following :]
(i) $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तथा (and) $2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$
(ii) $\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ तथा (and) $2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$
Sol :
(i) माना $\vec{a}=\hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{\jmath}-\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 3 & -1\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right|$
$=\hat{i}(1-3)-\hat{j}(-1-2)+\hat{k}(3+2)$
$=-2 \hat{\imath}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$
Question 14
सदिश $(\vec{a}+\vec{b})$ और $(\vec{a}-\vec{b})$ में से प्रत्येक के लंबवत् मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ $\vec{a}=\bar{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ हैं।
Sol :
$\vec{a}=\bar{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$
$\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+4 \hat{k}$
$\vec{a}-\vec{b}=-\hat{j}-2 \hat{k}$
$(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{j} & k \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -3\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -1 & -2\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 0 & -2\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 0 & -1\end{array}\right|$
$=\hat{i}(-6+4)-\hat{j}(-4-0)+\hat{k}(-2-0)$
$=-2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$
$|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})|=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}$ $=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}$
$=2 \sqrt{6}$
$\vec{a}+\vec{b}$ तथा $\vec{a}-\vec{b}$ पर लंब ईकाई सदिश$=\frac{(\vec{a}+\vec{b})\times\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}{[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})]}$
$=\frac{-2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}}{2 \sqrt{6}}$
$=\frac{-2}{2 \sqrt{6}} \hat{i}+\frac{4}{2 \sqrt{6}} \hat{j}-\frac{2}{2 \sqrt{6}} \hat{k}$
$=-\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}+\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}$
Question 15
सदिशों $\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ तथा $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात करें साथ ही दोनों सदिशों में से प्रत्येक पर लम्ब एक इकाई सदिश भी ज्ञात करें।
Sol :
माना $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{J} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right|$
$=\hat{\imath}\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right|-\hat{\jmath}\left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 3 & -1\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right|$
$=\hat{i}(-2-1)-\hat{j}(-1-3)+\hat{k}(1-6)$
$=-3 \hat{\imath}+4 \hat{\jmath}-5 \hat{k}$
$|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{9+16+25}$
$=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
$\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ दोनो पर लंब इकाई सदिश$=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$
$=\frac{-3 \hat{\imath}+4 \hat{j}-5 \hat{k}}{5 \sqrt{2}}$
$=\frac{1}{5 \sqrt{2}}(-3 \hat{\imath}+4 \hat{\jmath}-5 \hat{k})$
$\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k}$
$|\vec{a}|= \sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$ , $|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$
$\sin \theta=\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\sin \theta=\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{6}\times \sqrt{11}}$
$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{33}}\right)$
Question 16
Question 17
$2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तथा $3 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$ में से प्रत्येक पर लम्ब इकाई सदिश क्या है ? सिद्ध करें कि दोनों सदिशों के बीच के कोण का ज्या $\sqrt{\frac{155}{156}}$ है।
Sol :
माना $\vec{a}=2 \hat{\jmath}-\hat{\jmath}+\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{\imath}+4 \hat{\jmath}-\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{rrr}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & -1\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 4 & -1\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 3 & -1\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 3 & 4\end{array}\right|$
$=\hat{i}(1-4)-\hat{j}(-2-3)+\hat{k}(8+3)$
$=-3 \hat{i}+5 \hat{j}+11 \hat{k}$
$|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(-3)^{2}+5^{2}+11^{2}}=\sqrt{9+25+121}=\sqrt{155}$
$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$,$|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}$
$\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ पर लंब इकाई सदिश
$=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}=\frac{-3 \hat{\imath}+5 \hat{\jmath}+11 \hat{k}}{\sqrt{155}}$
$=\frac{1}{\sqrt{155}}(-3 \hat{i}+5 \hat{j}+11 \hat{k})$
$\sin \theta=\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\sin \theta=\frac{\sqrt{155}}{\sqrt{6} \times \sqrt{26}}$
$\sin \theta=\frac{\sqrt{155}}{\sqrt{156}}$
$\sin \theta=\sqrt{\frac{155}{156}}$
Question 18
यदि बिन्दुएँ A, B, C क्रमश: (1,0,-1),(0,1,-1) तथा (-1,0,1) हैं तो रेखाओं AB तथा AC के बीच का कोण ज्ञात करें।
Sol :
$\overrightarrow{A B}=(0-1) \hat{i}+(1-0) \hat{\jmath}+(-1+1) \hat{k}$
$\overrightarrow{A B}=-\hat{i}+\hat{\jmath}$
$\overrightarrow{A C}=(-1-1) \hat{\imath}+(0-0) \hat{\jmath}+(1+1) \hat{k}$
$\overrightarrow{A C}=-2 \hat{\imath}+2 \hat{k}$
$\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right|-\hat{\jmath}\left|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -2 & 2\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ -2 & 0\end{array}\right|$
$=i(2-0)-\hat{\jmath}(-2+0)+\hat{k}(-0+2)$
$=2 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+2 \hat{k}$
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{A C}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$
$|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
$|AC|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}$
$\sin \theta=\frac{|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{A C}|}$
$\sin \theta=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{8}}$
$\sin \theta=\frac{2 \sqrt{3}}{4}$
$\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Question 19
इकाई परिमाण वाले सदिश का घटक निकालें जो सदिशों $2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ पर लम्ब है।
Sol :
माना $\vec{a}=2 \hat{j}+\hat{j}-4 \hat{k}$
$\vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$
$\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ पर लंब सदिश $=\vec{a} \times \vec{b}$
$=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -4 \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}1 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}2 & -4 \\ 3 & -1\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right|$
$=\hat{i}(-1+4)-\hat{j}(-2+12)+\hat{k}(2-3)$
$=3 \hat{i}-10 \hat{j}-\hat{k}$
$|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{3^{2}+(-10)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+100+1}=\sqrt{110}$
$\vec{a}$ तबा $\vec{b}$ पर लंब इकाई सदिश $=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}=\frac{3 \hat{i}-10 \hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{110}}$
$=\frac{1}{\sqrt{110}}(3 \hat{i}-10 \hat{j}-\hat{k})$
Question 20
यदि तीन बिन्दुओं $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ के स्थिति सदिश क्रमश: $2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ हैं, तो तल $\mathrm{ABC}$ पर लम्ब एक सदिश निकालें ।.
Sol :
$\overrightarrow{B C}=(3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})-\left(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\right)$
$=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}-\hat{i}-2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}$
$\overrightarrow{B C}=2 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$
$\overrightarrow{B A}=(2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$
$=2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}-\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}$
$\overrightarrow{B A}=\hat{\imath}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$
तल ABC पर लंब सदिश$=\overrightarrow{B A} \times \overrightarrow{B C}$
$=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right|$
$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}2 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{ll}1& 2 \\ 2 & 5\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right|$
$=\hat{i}(10+2)-\hat{j}(5-4)+\hat{k}(-1-4)$☺
$=12 \hat{i}-\hat{j}-5 \hat{k}$
तल ABC पर लंब सदिश$=-(12 \hat{i}-\hat{\jmath}-5 \hat{k})$
$=-12 \hat{\imath}+\hat{j}+5 \hat{k}$
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