KC Sinha Solution Class 12 Chapter 27 Vector or Cross product of Two vectors Exercise 27.2 (Q1-Q10)

  Exercise 27.2

Question 1

दिखाएँ कि तीन बिन्दुएँ जिनके स्थिति सदिश $-3 \hat{i}+\hat{j}+5 \hat{k}, 2 \hat{i}+3 \hat{k},-13 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k}$ हैं, संरेख हैं।

Sol :

माना तीन बिन्दुओं के स्थिति सदिश क्रमशः

$\vec{a}=-3 \hat{i}+\hat{j}+5 \hat{k}$

$\vec{b}=2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{c}=-13 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{j}$

$\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 1 & 5 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\hat{\imath} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 3 \\ -13 & 3 & 9\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -13 & 3 & 9 \\ -3 & 1 & 5\end{array}\right|$

$=\hat{i}\left|\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 0 & 3\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}-3 & 5 \\ 2 & 3\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right|$ $+\hat{i}\left|\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 3 & 9\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -13 & 9\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ -13 & 3\end{array}\right|$ $+\hat{i}\left|\begin{array}{ll}3 & 9 \\ 1 & 5\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{ll}-13 & 9 \\ -3 & 5\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}-13 & 3 \\ -3 & 1\end{array}\right|$

$=\hat{i}(3-0)-\hat{j}(-9-10)+\hat{k}(-0-2)$ $+\hat{i}(0-9)-\hat{j}(18+39)+\hat{k}(6+0)$ $+\hat{i}(15-9)-\hat{j}(-65+27)+\hat{k}(-13+9)$

$=3 \hat{i}+19 \hat{j}-2 \hat{k}-9 \hat{i}-57 \hat{j}+6 \hat{k}+6 \hat{j}+38 \hat{j}-4\hat{k}$

$=\overrightarrow{0}$

∴दिगई तीन बिन्दुएँ संरेख है।

Question 2

दिखाएँ कि बिन्दुएँ जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}$ तथा $-7 \vec{b}+10 \vec{c}$ है, संरेख हैं।

Sol :

माना तीन बिन्दुएँ जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}-3 \vec{b}-4 \vec{c}$ तथा $-7 \vec{b}+10 \vec{c}$

$(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}) \times(2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c})+(2 \vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}) \times(-7 \vec{b}+10 \vec{c})$ $+(-7 \vec{b}+10 \vec{c}) \times(\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c})$

$=2 \vec{a} \times \vec{a}+3 \vec{a} \times \vec{b}-4 \vec{a} \times \vec{c}-4 \vec{b} \times \vec{a}-6 \vec{b} \times \vec{b}+8 \vec{b} \times \vec{c}$ $+6 \vec{c} \times \vec{a}+9 \vec{c} \times \vec{b}-12 \vec{c} \times \vec{c}-14 \vec{a} \times \vec{b}+20 \vec{a} \times \vec{c}-21 \overrightarrow{b} \times \vec{b}$ $+30 \vec{b} \times \vec{c}+28 \vec{c} \times \vec{b}-40 \vec{c} \times \vec{c}-7 \vec{b} \times \vec{a}+14 \vec{b} \times \vec{b}$ $-21 \vec{b} \times \vec{c}+10 \vec{c} \times \vec{a}-20 \vec{c} \times \vec{b}+30 \vec{c} \times \vec{c}$

$=2(\vec{0})+3 \vec{a} \times \vec{b}+4 \vec{c} \times \vec{a}+4 \vec{a} \times \vec{b}-6(\vec{0})+8 \vec{b} \times \vec{c}$ $+6 \vec{c} \times \vec{a}-9 \vec{b} \times \vec{c}-12(\overrightarrow{0})-14 \vec{a} \times \vec{b}-20 \vec{c} \times \vec{a}-21(\overrightarrow{0})$ $+30 \vec{b} \times \vec{c}-28 \vec{b} \times \vec{c}-40(\overrightarrow{0})+7 \vec{a} \times \vec{b}+14(\vec{0})$ $-21 \vec{b} \times \vec{c}+10 \vec{c} \times \vec{a}+20 \vec{b} \times \vec{c}+30(\overrightarrow{0})$

$=14 \vec{a} \times \vec{b}-14 \vec{a} \times \vec{b}+58 \vec{b} \times \vec{c}-58 \vec{b} \times \vec{c}+20 \vec{c} \times \vec{a}$ $-20 \vec{c} \times \vec{a}$

$=\overrightarrow{0}$

$\therefore$ दिए गई तीन बिंदु संरेख है।

Question 3

समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालें जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।

Sol :

$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1\end{array}\right|$

$=\hat{i}\left|\begin{array}{rr}2 & 3 \\ -2 & 1\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 3 & -2\end{array}\right|$

$=\hat{i}(2+6)-\hat{j}(1-9)+\hat{k}(-2-6)$

$=8 \hat{i}+8 \hat{j}-8 \hat{k}$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल$=|\vec{a} \times \vec{b}|$

$=\sqrt{8^{2}+8^{2}+(-8)^{2}}$

$=\sqrt{8+64+64}=8\sqrt{3}$ वर्ग

Question 4

Question 5

समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके विकर्ण निम्नलिखित हैं। 

[Find the area of the parallelogram having diagonals.]

(i) $(3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$ तथा (and) $(\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})$

Sol :

माना समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न भुजाओं के सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ है।

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A C}$  (समांतर चतुर्भुज के योग के नियम से)

$\vec{a}+\vec{b}=3 \hat{\imath}+\hat{j}-2 \hat{k}$...(i)

$\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{D B}$  (समांतर चतुर्भुज के योग के नियम से)

$\vec{a}-\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{\jmath}+4 \hat{k}$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

$\begin{aligned} \vec{a}+\vec{b} &=3 \hat{i}+\hat{\jmath}-2 \hat{k} \\ \vec{a}-\hat{b} &=\hat{i}-3 \hat{\jmath}+4 \hat{k} \\ \hline 2 \vec{a} &=4 \hat{i}-2 \hat{\jmath}+2 \hat{k} \end{aligned}$

$\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}$

समीकरण (i) से

$\vec{a}+\vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

$2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}+\vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

$\vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}-2 \hat{i}+\hat{\jmath}-\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$

$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3\end{array}\right|$

$=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & -3\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right|$

$=\hat{\imath}(3-2)-\hat{j}(-6-1)+\hat{k}(4+1)$

$=\hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल$=|\vec{a} \times \vec{b}|$

$=\sqrt{1^{2}+7^{2}+5^{2}}=\sqrt{1+49+25}$

$=\sqrt{75}=5 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई

Question 6

डस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके विकर्ण सदिश $2 \vec{m}-\vec{n}$ तथा $4 \vec{m}-5 \vec{n}$ हैं जहाँ $\vec{m}$ और $\vec{n}$ इकाई सदिश हैं जिनके बीच का कोण $45^{\circ}$ है ।

Sol :

माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

$\overrightarrow{A C}=2 \vec{m}-\vec{n} ,\overrightarrow{D B}=4 \vec{n}-5 \vec{n}$

माना समांतर चतुर्भुज के आसन्न भुजाओं के सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ है।

$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$   (समांतर चतुर्भुज के योग के नियम से)

$\vec{a}+\vec{b}=2 \vec{m}-\vec{n}$...(i) 

$\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{D B}$  (समांतर चतुर्भुज के योग के नियम से)

$\vec{a}-\vec{b}=4 \cdot \vec{m}-5 \vec{n}$....(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}\vec{a}+\vec{b}&=2 \vec{m}-\vec{n}\\\vec{a}-\vec{b}&=4 \vec{m}-5 \vec{n} \\ \hline 2\vec{a}&=6\vec{m}-6\vec{n}\end{aligned}$

$\vec{a}=3 \vec{m}-3 \vec{n}$

$\Rightarrow \vec{a}=3(\vec{m}-\vec{n})$

समीकरण (i) में $\vec{a}$ का मान रखने पर,

$\begin{aligned} \vec{a}+\vec{b} &=2 \vec{m}-\vec{n} \\ 3 \vec{m}-3 \vec{n}+\vec{b} &=2 \vec{m}-\vec{n} \end{aligned}$

$\vec{b}=2 \vec{m}-\vec{n}-3 \vec{m}+3 \vec{n}$

$\vec{b}=-\vec{m}+2 \vec{n}$

$\vec{a} \times \vec{b}=3(\vec{m}-\vec{n}) \times(-\vec{m}+2 \vec{n})$

$=3(-\vec{m} \times \vec{m}+2 \vec{m} \times \vec{n}+\vec{n} \times \vec{m}-2 \vec{n} \times \vec{n})$

$=3(\overrightarrow{0}+2 \vec{m} \times \vec{n}-\vec{m} \times \vec{n}-\overrightarrow{0})$

$=3 \vec{m} \times \vec{n}$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

$=|\vec{a} \times \vec{b}|$

$=3|\vec{m} \times \vec{n}|$

$=3|\vec{m}||\vec{n}| \cdot \sin \theta$

$=3 \times 1 \times 1 \times \sin 45$

$=3 \times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Question 7

दिखाएँ कि उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके दो आसन्न भुजाएँ $\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}, \vec{b}=-5 \hat{i}+7 \hat{j}$ से निर्धारित होते हैं, $20 \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई है।

Sol :

$\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ -5 & 7 & 0\end{array}\right|=\hat{k}\left|\begin{array}{cc}3 & 4 \\ -5 & 7\end{array}\right|=\hat{k}(21+20)$

$=41 \hat{k}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल$=\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|=\frac{1}{2} \sqrt{41^{2}}=\frac{1}{2} \times 41$

$=\frac{41}{2}$ वर्ग इकाई

$=20 \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई

Question 8

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्षों के स्थिति सदिश $\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}+2 \hat{j}=3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ हैं।

Sol :

माना ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-\hat{\jmath}-\hat{k}$  है।

$\begin{aligned} \overrightarrow{B A} &=(\hat{\imath}+\hat{j}+2 \hat{k})-(2 \hat{\imath}+2 \hat{j}-3 \hat{i}) \\ &=\hat{\jmath}+\hat{j}+2 \hat{k}-2 \hat{\imath}-2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ &=-\hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \overrightarrow{B C}=&(3 \hat{i}-\hat{\jmath}-\hat{k})-(2 \hat{i}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}) \\=& 3 \hat{\imath}-\hat{j}-\hat{k}-2 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ \overrightarrow{B C}=& \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned}$

$\overrightarrow{B C} \times \overrightarrow{B A}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & -1 & 5\end{array}\right|$

$=\hat{i}\left|\begin{array}{ll}-3 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -1 & -1\end{array}\right|$

$=\hat{i}(-15+2)-\hat{j}(5+2)+\hat{k}(-1-3)$

$=-13 \hat{i}-7 \hat{j}-4 \hat{k}$

ΔABC का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}|\overrightarrow{B C} \times \overrightarrow{BA}|=\frac{1}{2} \sqrt{(-13)^{2}+(-7)^{2}+(-4)^{2}}$

$=\frac{1}{2} \sqrt{169+49+16}$

$=\frac{1}{2} \sqrt{234}$ वर्ग इकाई

Question 9

A(1,1,2), B(2,3,5) तथा C(1,5,5) शीर्ष वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें ।

[Find the area of the triangle with vertices A(1,1,2), B(2,3,5) and C(1,5,5)]

Sol :

$\overrightarrow{A B}=(2-1) \hat{i}+(3-1) \hat{\jmath}+(5-2) \hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\overrightarrow{A C}=(1-1) \hat{i}+(5-1) \hat{\jmath}+(5-2) \vec{k}$

$\overrightarrow{A C}=4 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=\left|\begin{array}{lll}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right|$

$=\hat{i}\left|\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 3\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 3\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right|$

$=\hat{i}(6-12)-\hat{j}(3-0)+\hat{k}(4-0)$

$=-6 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

$=\frac{1}{2} \sqrt{(-6)^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{36+9+16}$

$=\frac{1}{2} \sqrt{61}$

$=\frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई