Exercise 2.3
Question 1
$p(x)=2 x^{3}+3 x+1$ को q(x)=x+2 से भाग दें तो भागफल एवं शेषफल ज्ञात करें। क्या $q(x), 2 x^{3}+3 x+1$ का एक गुणनखण्ड है ?
Sol :
Question 2
$3 x^{3}+x^{2}+2 x+5$ को $1+2 x+x^{2}$ से भाग दें और भागफल तथा शेषफल ज्ञात करें। क्या $1+2 x+x^{2}, 3 x^{3}+x^{2}+2 x+5$ का एक गुणनखण्ड है ?
Sol :
Question 3
बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग दें तथा भागफल q(x) और शेषफल r(x) को प्रत्येक स्थिति में ज्ञात करें।
(i) $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x+2, g(x)=x-1$
(ii) $p(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+3, g(x)=x+4$
(iii) $p(x)=2 x^{4}+3 x^{3}+4 x^{2}+19 x+45, g(x)=x-2$
(iv) $p(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}+x-1, g(x)=x-2$
(v) $p(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+3, g(x)=x^{2}-4 x+3$
(vi) $p(x)=x^{6}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+2 x+2, g(x)=x^{3}+1$
(vii) $p(x)=x^{6}+3 x^{2}+10$ और $g(x)=x^{3}+1$
(viii) $p(x)=x^{4}+1, g(x)=x+1$
Sol :
Question 4
(i) विभाजन विधि द्वारा k का मान ज्ञात करें जिसके लिये $x-1, x^{3}-6 x^{2}+11 x+k$ का एक गुणनखण्ड हो।
(ii) विभाजन विधि से c का मान ज्ञात करें जिसके लिये $4 x^{4}-3 x^{2}+3 x+c$ का एक गुणनखण्ड $2 x+1$ हो।
Sol :
Question 5
बहुपद $6 x^{4}+8 x^{3}+17 x^{2}+21 x+7$ को बहुपद $3 x^{2}+4 x+1$ से विभाजित करने पर शेष ax+b है, तो a और b ज्ञात करें ।
Sol :
Type II : विभाजन एल्गोरिथ्म पर आधारित प्रश्न :
Question 6
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) ज्ञात कीजिये ।
(i) $p(x)=2 x^{2}+3 x+1, g(x)=x+2$
(ii) $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+5 x-3, g(x)=x^{2}-2$
(iii) $p(x)=x^{4}-1, g(x)=x+1$
(iv) $p(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x+2, g(x)=x-1$
(v) $p(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6, g(x)=x^{2}-5 x+6$
(vi) $p(x)=6 x^{3}+13 x^{2}+x-2, g(x)=2 x+1$
Sol :
Question 7
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके यह जाँच करें कि क्या प्रथम बहुपद, दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है ?
(i) $x-2, x^{3}+3 x^{2}-12 x+4$
(ii) $x^{2}+3 x+1,3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2$
(iii) $x^{2}-3 x+4,2 x^{4}-11 x^{3}+29 x^{2}-30 x+29$
(iv) $x^{2}-4 x+3, x^{3}-3 x^{2}-x+3$
(v) $t-1, t^{3}+t^{2}-2 t+1$
(vi) $t^{2}-5 t+6, t^{3}-6 t^{2}+11 t-6$
Sol :
Question 8
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के उदाहरण दें जो विभाजन एल्गोरिथ्म p(x)=g(x).q(x)+r(x), घात r(x)< घात g(x) को संतुष्ट करते हों : और निम्नलिखित शर्त्तों को भी संतुष्ट करते हैं :
(i) घात p(x)= घात q(x)+1
(ii) घात q(x)=1
(iii) घात q(x)= घात r(x)+1
Sol :
Type-III : त्रिघाती या चतुर्थघाती बहुपदों के शून्यकों को ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न जब उनके कुछ शून्यकों के मान ज्ञात हों :
Question 9
नीचे दिए गये बहुपदों के सभी शून्यकों को ज्ञात करें यदि दी गई संख्यायें उनके शून्यक हैं।
(i) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 ; 3$
(ii) $x^{4}-8 x^{3}+23 x^{2}-28 x+12 ; 1,2$
(iii) $x^{3}+2 x^{2}-x-2 ;-2$
(iv) $x^{3}+5 x^{2}+7 x+3 ;-3$
(v) $x^{4}-6 x^{3}-26 x^{2}+138 x-35 ; 2 \pm \sqrt{3}$
(vi) $x^{4}+x^{3}-34 x^{2}-4 x+120 ; 2,-2$
(vii) $2 x^{4}+7 x^{3}-19 x^{2}-14 x+30 ; \sqrt{2},-\sqrt{2}$
(viii) $2 x^{4}-9 x^{3}+5 x^{2}+3 x-1 ; 2 \pm \sqrt{3}$
(ix) $2 x^{3}-4 x-x^{2}+2 ; \sqrt{2},-\sqrt{2}$
Sol :
Type IV : कोई संख्या किसी त्रिघाती बहुपद का शून्यक है या नहीं की जाँच तथा शून्यकों एवं गुणांकों के सम्बन्ध पर आधारित प्रश्न :
Question 10
सत्यापित करें कि $3,-1,-\frac{1}{3}$ त्रिघाती बहुपद $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ के शून्यक हैं और शून्यकों एवं गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित करें ।
Sol :
Question 11
सत्यापित करें कि त्रिघाती बहुपद के बगल में दी गई संख्यायें । उनके शून्यक है । उनके शून्यकों एवं गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित करें ।
(i) $x^{3}-4 x^{2}+5 x-2 ; 2,1,1$
(ii) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 ; 1,2,3$
(iii) $x^{3}+2 x^{2}-x-2 ;-2,-1,1$
(iv) $x^{3}+5 x^{2}+7 x+3 ;-3,-1,-1$
Sol :
Type V : तीनों शून्यकों का योग, दो-दो शून्यकों को गुणाकर उनके गुणनफल का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल ज्ञात रहने पर त्रिघाती बहुपद ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :
Question 12
1,2,3 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करें।
Sol :
Question 13
-3-2,2 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करें।
Sol :
Question 14
उस त्रिघातीय बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग, दो-दो करके शून्यकों के गुणनफल का योग तथा उसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 0,-7 और -6 हैं।
Sol :
Question 15
एक त्रिघातीय बहुपद को ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योग, दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग तथा इसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः नीचे दी गई संख्याएँ हैं।
(i) 2,-7,-14
(ii) $-4, \frac{1}{2},-\frac{1}{3}$
(iii) $\frac{5}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}$
(iv) $\frac{2}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}$
Sol :
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