Exercise 4.2
Type I : किसी संख्या के दिए गए द्विघात समीकरण के मूल होने की जाँच पर आधारित प्रश्न :
Question 1
ज्ञात करें कि $x=\frac{3}{2}$ और $x=-\frac{4}{3}$ समीकरण $6 x^{2}-x-12=0$ के हल हैं या नहीं ।
Sol :
Question 2
ज्ञात करें कि (i) x=1, (ii) x=3 समीकरण $x^{2}-5 x+4=0$ के हल हैं या नहीं ।
Sol :
Question 3
ज्ञात करें कि $x=\sqrt{3}$ और $x=-2 \sqrt{3}$ समीकरण $x^{2}-3 \sqrt{3} x+6=0$ के हल हैं या नहीं ।
Sol :
Question 4
द्विघात समीकरण $2 x^{2}-5 x+3=0$ के लिए निम्नलिखित में कौन हल है :
(i) x=3
(ii) x=-2
(iii) $x=-\frac{1}{2}$
(iv) $x=-\frac{1}{3}$
Sol :
Question 5
ज्ञात करें कि : (i) $x=\sqrt{2}$, (ii) $x=-2 \sqrt{2}$ समीकरण $x^{2}+\sqrt{2} x-4=0$ के हल हैं या नहीं ।
Sol :
Question 6
दिखायें कि x=-3 समीकरण $x^{2}+6 x+9=0$ का एक हल है ।
Sol :
Question 7
दिखायें कि x=-3 समीकरण $2 x^{2}+5 x-3=0$ का एक हल है ।
Sol :
Question 8
दिखायें कि x=-2 समीकरण $3 x^{2}+13 x+14=0$ का एक हल है ।
Sol :
Question 9
k के किस मान के लिए $x=\frac{2}{3}$ समीकरण $k x^{2}-x-2=0$ का एक हल है ।
Sol :
Question 10
k के किस मान के लिए $x=-\frac{1}{2}$ समीकरण $3 x^{2}+2 k x-3=0$ का एक हल है ।
Sol :
Question 11
a और b के किस मान के लिए $x=\frac{3}{4}$ और x=-3 समीकरण $a x^{2}+b x-6=0$ के हल हैं ।
Sol :
Question 12
k के किस मान के लिए x=a सेमीकरण $x^{2}-(a+b) x+k=0$ का एक हल है ।
Sol :
Question 13
k, a और b के मान निम्न द्विघात समीकरणों के लिए ज्ञात करें ताकि x के दिये मान दत्त समीकरण मूल हो :
(i),$k x^{2}-5 x+6=0 ; x=2$
(ii) $6 x^{2}+k x-\sqrt{6}=0 ; x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(iii) $a x^{2}-13 x+b=0 ; x=\frac{3}{2}$ और $x=\frac{2}{3}$
(iv) $a x^{2}+b x-10=0 ; x=\frac{2}{5}$ और $x=\frac{5}{3}$
Sol :
Type II : गुणनखण्डन द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :
Question 14
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को गुणनखंडन द्वारा हल करें :
(i) $2 x^{2}-5 x+3=0$
(ii) $3 x^{2}-2 \sqrt{6} x+2=0$
(iii) $3 x^{2}-14 x-5=0$
(iv) $\sqrt{3} x^{2}+10 x+7 \sqrt{3}=0$
(v) $\sqrt{7} y^{2}-6 y-13 \sqrt{7}=0$
(vi) $4 x^{2}-4 a^{2} x+a^{4}-b^{4}=0$
Sol :
Question 15
(i) $a^{2} b^{2} x^{2}+b^{2} x-a^{2} x-1=0, a \neq 0, b \neq 0$
(ii) $36 x^{2}-12 a x+\left(a^{2}-b^{2}\right)=0$
(iii) $10 a x^{2}-6 x+15 a x-9=0, b \neq 0$
(iv) $12 a b x^{2}-\left(9 a^{2}-8 b^{2}\right) x-6 a b=0$
(v) $4 x^{2}-2\left(a^{2}+b^{2}\right) x+a^{2} b^{2}=0$
Sol :
Type III : पूर्ण वर्ग कर, द्विघात समीकरण हल करने पर आधारित प्रश्न :
Question 16
पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल (यदि संभव हो तो) ज्ञात करें।
(i) $5 x^{2}-6 x-2=0$
(ii) $2 x^{2}-5 x+3=0$
(iii) $9 x^{2}-15 x+6=0$
(iv) $x^{2}-9 x+18=0$
(v) $2 x^{2}+x+4=0$
Sol :
Question 17
पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल (यदि संभव हो) ज्ञात करें।
(i) $2 x^{2}-5 x+3=0$
(ii) $x^{2}-6 x+4=0$
(iii) $\sqrt{5} x^{2}+9 x+4 \sqrt{5}=0$
(iv) $2 \sqrt{2} x^{2}+\sqrt{15} x+\sqrt{2}=0$
(v) $x^{2}+x+3=0$
Sol :
Question 18
पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि द्वारा निम्नांकित समीकरणों को हल करें :
(i) $5 x^{2}-24 x-5=0$
(ii) $7 x^{2}-13 x-2=0$
(iii) $15 x^{2}+53 x+42=0$
(iv) $7 x^{2}+2 x-5=0$
Sol :
Type IV : द्विघात सूत्र से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :
Question 19
द्विघात सूत्र का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात करें।
(i) $4 x^{2}+3 x+5=0$
(ii) $3 x^{2}+2 \sqrt{5} x-5=0$
(iii) $x^{2}-16 x+64=0$
(iv) $3 a^{2} x^{2}+8 a b x+4 b^{2}=0, a \neq 0$
(v) $9 x^{2}-9(a+b) x+\left[2 a^{2}+5 a b+2 b^{2}\right]=0$
(vi) $x+\frac{1}{x}=3, x \neq 0$
(vii) $x-\frac{15}{4 x}+1=0, x \neq 0$
Sol :
Type V : समीकरण को द्विघात समीकरण में बदलकर हल करने पर आधारित प्रश्न :
Question 20
निम्नलिखित समीकरणों को हल करें :
(i) $\frac{x+2}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}=\frac{5}{2}, x \neq 2,-2$
(ii) $\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}=6 \frac{6}{7}, x \neq-3,3$
(iii) $\frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}=3, x \neq 0,2$
(iv) $2\left(\frac{2 x-1}{x+3}\right)-3\left(\frac{x+3}{2 x-1}\right)=5, x \neq-3, \frac{1}{2}$
(v) $\frac{x}{x-1}+\frac{x-1}{x}=4, x \neq 0,1$
(vi) $\left(\frac{2 x-3}{x-1}\right)-4\left(\frac{x-1}{2 x-3}\right)=3, x \neq 1, \frac{3}{2}$
(vii) $2\left(\frac{x-1}{x+3}\right)-7\left(\frac{x+3}{x-1}\right)=5,(x \neq-3,1)$
(viii) $\left(\frac{4 x-3}{2 x+1}\right)-10\left(\frac{2 x+1}{4 x-3}\right)=3,\left(x \neq \frac{-1}{2}, \frac{3}{4}\right)$
(ix) $\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=\frac{34}{15}, x \neq-1, x \neq 0$.
Sol :
Question 21
निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक का हल द्विघात सूत्र का प्रयोग कर, निकालें :
(i) $\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-4\left(x^{2}-2 x\right)+3=0$
(ii) $2\left(\frac{x}{x+1}\right)^{2}-5\left(\frac{x}{x+1}\right)+2=0, x \neq-1$
(iii) $\left(x^{2}+3 x+2\right)^{2}-8\left(x^{2}+3 x\right)-4=0$
Sol :
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