Exercise 5.1
Question 1
निम्न प्रकार से परिभाषित अनुक्रमों के प्रथम तीन पदों को लिखें.?
(i) $t_{n}=3 n+1$
(ii) $t_{n}=2^{n}$
(iii) $t_{n}=n^{2}+1$
(iv) $t_{n}=n(n+2)$
(v) $t_{n}=2 n+5$
(vi) $t_{n}=\frac{n-3}{4}$
Sol :
Question 2
निम्नलिखित अनुक्रमों, जिनके n वाँ पद दिए गये हैं, के पूछे गये (indicated) पदों को ज्ञात करें
(i) $t_{n}=\frac{n^{2}(n+1)}{3} ; t_{1}, t_{2}$
(ii) $t_{n}=\frac{n(n-2)}{n+3} ; t_{20}$
(iii) $t_{n}=(n-1)(2-n)(3+n) ; t_{20}$
(iv) $t_{n}=\frac{t_{n-1}}{n^{2}}, t_{1}=3 ; t_{2}, t_{3},(n \geq 2)$
Sol :
Question 3
निम्नलिखित उपक्रमों के आगामी तीन पदों को लिखें
(i) $t_{2}=2, t_{n}=t_{n-1}+1,(n \geq 3)$
(ii) $t_{1}=3, t_{n}=3 t_{n-1}+2$ सभी n>1 के लिए
Sol :
TYPE-II : समान्तर श्रेड़ी के प्रथम पद एवं सार्व अन्तर ज्ञात होने पर उसके प्रथम कुछ पद ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :
Question 4
A.P. के प्रथम 4 पदों को लिखें जब प्रथम पद a और सार्व-अन्तर d निम्नांकित हैं :
(i) a=1 , d=1
(ii) a=3, d=0
(iii) a=10, d=10
(iv) a=-2 , d=0
(v) a=100, d=-30
(vi) $a=-1, d=\frac{1}{2}$
(vii) a=-7, d=-7
(viii) a=1.0 , d=0.1
Type III : किसी A.P. के कुछ क्रमागत पद दिए होने पर उसके प्रथम पद और सार्व अन्तर ज्ञात कैसे पर आधारित प्रश्न :
Question 5
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) के प्रथम पद और सार्व-अन्तर लिखें ।
(i) 6,3,0,-3,.........
(ii) -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,...........
(iii) 147,148,149,150,........
(iv) -5,-1,3,7, ..........
(v) 3,1,-1,-3,..........
(vi) $2,2 \frac{1}{3}, 2 \frac{2}{3}, 3, \ldots$
(vii) $\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \ldots$
Sol :
Type IV : संख्या का दिया गया प्रतिरूप A.P. में है या नहीं, की जाँच पर आधारित प्रश्न :
Question 6
निम्नलिखित संख्याओं की सूची में कौन A.P. में है ? यदि ये समान्तर श्रेढ़ी (A.P) बनाते हों तो इनको सार्व-अन्तर ज्ञात करें और इनके आगामी तीन पदों को लिखें।
(i) 1,-1,-3,-5,........
(ii) 2,4,8,16,..........
(iii) -2,2,-2,2,-2,..........
(iv) $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots$
(v) $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \ldots \ldots$
(vi) 0,-4,-8,-12,.........
(vii) 4,10,16,22, ..........
(viii) a, 2a, 3a, 4a, ..........
(ix) -1.2,-3.2,-5.2,-7.2,.......
(x) $\sqrt{3}, \sqrt{12}, \sqrt{48}, \sqrt{192}, \ldots .$
(xi) $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \ldots . .$
(xii) 1,3,9,27, ......
(xiii) $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, \ldots \ldots$
(xiv) $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 7^{2}, \ldots \ldots$
(xv) $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \ldots \ldots$
TYPE V : शब्दों में दिए गये शत्तों के अनुसार संख्याओं के अनुक्रम ( प्रतिरूप) के निर्माण पर आधारित प्रश्न :
Question 7
निम्नलिखित परिस्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची में कौन A.P. में हैं और क्यों ?
(i) क्रमागत वर्षों में एक शिक्षक का वेतन, जब आरंभिक वेतन 8000 रु० तथा वार्षिक वेतन वृद्धि 500 रु० है।
(ii) प्रत्येक किमी का टैक्सी-भाड़ा, जब प्रथम किमी का भाड़ा 15 रु० और अतिरिक्त प्रत्येक किमी का भाड़ा 8 रु० है।
(iii) एक सीढ़ी के डंडों की लम्बाइयाँ जब, नीचे से ऊपर की ओर एक समान रूप से 2 सेमी घटती जाता है और सबसे नीचे वाला डंडा की लम्बाई 45 सेमी है ।
(iv) किसी खाते में प्रति वर्ष जमा राशि, जब 10000 रु० की मूल राशि, $8 \%$ प्रतिवर्ष की चक्रवृद्धि ब्याज की दर से जमा की जाती है ।
(v) सुधा द्वारा क्रमागत वर्षों में बचत की गई राशि, जब वह प्रथम वर्ष में 100 रु० और प्रत्येक वर्ष 50 रु० की राशि बढ़ाकर बचत करती है।
(vi) खरगोश युग्म की क्रमागत महीनों में संख्या, जब खरगोशों का एक युग्म अपने पहले महीने में प्रजनन करने योग्य नहीं है । दूसरे और प्रत्येक आने वाले महीने में एक नये युग्म का प्रजनन करता है । प्रत्येक नया युग्म अपने दूसरे महीने और प्रत्येक आने वाले महीने में एक नए युग्म का प्रजनन करता है। (यह मानते हुए कि किसी खरगोश की मृत्यु नहीं होती है) ।
(vii) लगाई गई पूँजी की कीमत 1,2,3,4,... वर्षों के बाद जब पूँजी की राशि एक वर्ष के बाद स्वयं की $\frac{5}{4}$ गुनी हो जाती है।
Sol :
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