Exercise 5.4
Type I : किसी बहुपद का n वाँ पद एवं n पदों का योग n में एक बहुपद हो, तो श्रेढ़ी निकालने पर आधारित प्रश्न :
Question 1
एक A.P. के n पदों का योग $\left(\frac{5 n^{2}}{2}+\frac{3 n}{2}\right)$ है इसका 20 वाँ पद ज्ञात कीजिए।Sol :
Question 2
एक A.P. का n वाँ पद $\mathrm{S}_{n}=3 n^{2}+2 n$ है । A.P. ज्ञात कीजिए और इसका 15 वाँ पद भी ज्ञात करें।Sol :
Question 3
(i) एक A.P. के प्रथम n पदों का योग $S_{n}=\left(2 n^{2}+5 n\right)$ है, तो A.P. का n वाँ पद ज्ञात कीजिए।Sol :
(ii) यदि A.P. के n पदों का योग $3 n^{2}+5 n$ है, तो A.P. ज्ञात करें। अतः इसका 16 वाँ पद ज्ञात करें।
Sol :
Question 4
यदि किसी A.P. के n पदों का योग $S_{n}=\left(3 n^{2}-n\right)$ है, तो निम्न को ज्ञात करें-
(i) प्रथम पद
(ii) सार्व-अन्तर
(iii) n वाँ पद ।
Sol :Question 5
एक A.P. के n पदों का योग $\left(\frac{3 n^{2}}{2}+\frac{5 n}{2}\right)$ है तो इसका 25 वाँ पद ज्ञात करें ।
Sol :
Question 6
यदि किसी A.P. का n वाँ पद (2n+1) है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 7
(i) यदि किसी A.P. का n वाँ पद 9-5n है तब इसके प्रथम 15 पदों का योग बताइए।
Sol :
(ii) A.P. के प्रथम 25 पदों का योग बताइए यदि उसका n वाँ पद 1-4n है।
Sol :
Question 8
किसी A.P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका k वाँ पद 5k+1 है।
Sol :
Question 9
किसी A.P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका k वाँ पद 5k+1 है।
Sol :Question 10
यदि किसी A.P. के n पदों का योग $3 n^{2}+5 n$ है और उसका m वाँ पद 164 हो, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 11
यदि A.P. के n पदों का योग $p n+q n^{2}$ है जहाँ p और q स्थिरांक है, तो A.P. का सार्त-अन्तर ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 12
यदि किसी A.P. के n पदों का योग $n \mathrm{P}+\frac{1}{2} n(n-1) \mathrm{Q}$. है जहाँ P तथा Q स्थिरांक हैं, तो A.P का सार्ब-अन्तर ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 13
25+28+31+.....+100 का योगफल ज्ञात कीजिए ।
Question 14
A.P. 4,9,14, .....का कौन पद 89 है ?
4+9+14+......+89 के योगफल भी ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 15
x के लिए हल करें :
(i) 1+6+11+16+.....+x=148
(ii) 25+22+19+16+.....+x=115
Sol :
Question 16
A.P. 64,60,56...... के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि योगफल 544 हो । दो उत्तरों की व्याख्या करें ।
Sol :
Question 17
A.P. 3,5,7,9,..... के कितने पद जोड़े जायें कि योगफल 120 प्राप्त हो ?
Sol :
Question 18
A.P. 63,60,57, .... के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए जिससे उनका योग 693 हो । दो उत्तरों की व्याख्या भी कीजिए ।
Sol :
Question 19
श्रेणी 15+12+9+.... के कितने पद लिये जायें कि इसका योग 15 हो जाय । दो उत्तरों की व्याख्या करें ।
Sol :
Question 20
(i) 100 और 200 के मध्य सभी विषम संख्याओं के योग ज्ञात कीजिए ।
(ii) 1 से 2001 तक की सभी त्रिधम संख्याओं का योग ज्ञात करें।
Sol :
Question 21
किसी A.P. के 35 पदों के योग ज्ञात करें यदि इसका दूसरा पद 2 तथा सातत्रां पद 22 हो।
Sol :
Question 22
यदि किसी A.P. के प्रथम $p$ पदों का योग $q$ तथा प्रथम $q$ पदों का योग $p$ हो, तो प्रथम $(p+q)$ पदों का योग ज्ञात कीजिये।
Sol :
Question 24
A.P. $-6,-\frac{11}{2},-5, \ldots$ के कितने पदों की आवश्यकता होगी कि इसका योग $-25$ हो जाय ।
Sol :
Question 24
(i) 107 और 253 के बीच 5 के अपवरत्यों का योग ज्ञात करें।
(ii) 100 और 1000 के बीच 5 के अपव्रत्यों का योग ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 25
दो अंकों वाली त्रिषम धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 26
300 और 700 के ब्रीच सभी 9 के अपव्रत्यों का योग ज्ञात करें।
Sol :
Question 27
तीन अंकों वाली सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाज्य हैं। [CBSE 2006]
Sol :
Question 28
100 और 500 के बीच सभी प्राकृति संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य है।
Sol :
Question 29
तीन अंकों की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिये जो 13 से विभाज्य हैं।
Sol :
Type III : n के दो मानों के लिए एक A.P. के n पदों के योग में सम्बन्ध या दो A.P. के n पदों के योग पर आधारित प्रश्न :
Question 30
किसी समान्तर श्रेणी का पाँचवाँ और पन्द्रहवाँ पद क्रमशः 13 और -17 हैं, तो इसके इक्कीस पदों का योगफल ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 31
एक समान्तर श्रेणी के इक्कीस पदों का योग ज्ञात करें जिसका द्वितीय और चतुर्थ पद क्रमशः 8 और 14 हैं।
Sol :
Question 32
किसी समांतरण श्रेणी का दूसरा पद 2 तथा चौथा पद 8 है, तो उसके 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 33
उस समांतर श्रेणी के 25 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 9 तथा चौथा पद 21 है।
Sol :
Question 34
(i) यदि किसी समांतर श्रेणी के 8 पदों का योग 64 तथा 19 पदों का योग 361 है, तो उसके n मुत्र का योग ज्ञात कीजिए।
(ii) किसी समांवर श्रेणी के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि इसका सार्ब अन्तिर (c.d.) 9 है, तो समांतर श्रेणी में कितने पद हैं और उनका योगफल क्या है ?
(iii) किसी A.P. के प्रथम 6 पदों का योग 42 है तथा इसके 10 वें और 30 वें पदों का अनुपात 1 : 3 है। A.P. का पहला और 13 वाँ पद ज्ञात करें।
Sol :
Question 35
यदि a, b, c किसी समांतर श्रेणी के क्रमशः प्रथम, तृतीय तथा n वाँ पद हैं, तो सिद्ध करें कि उसके n पद्यो का योग $\frac{c+a}{2}+\frac{c^{2}-a^{2}}{b-a}$ है ।
Sol :
Question 36
यदि किसी समांतर श्रेणी के m वाँ पद $\frac{1}{n}$ है और n वाँ पद $\frac{1}{m}$ है, तब सिद्ध करें कि उसके mn पदों का योग $\frac{m n+1}{2}$ है, जहाँ $m \neq n$ ।
Sol :
Question 37
यदि किसी समांतर श्रेणी का 12 वाँ पद -13 है और इसके प्रथम चार पदों का योग 24 है, तो इसके 10 पदों का योग कितना है ?
Sol :
Question 38
यदि किसी समांतर शेणी के पदों की संख्या 2n+3 है, तब इसके विषम पदों के योग एवं सम पदों के योग का अनुपात ज्ञात करें।
Sol :
Question 39
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम m पदों का योग, उसके प्रथम n पदों के योग के बराबर (equal) है, तो दर्शायें कि इसका प्रथम (m+n) पदों का योग शून्य (zero) है ।
Sol :
Question 40
किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद 2 है और प्रथम पाँच पदों का योग, उसके अगले (next) पाँच पदों के योग का एक चौथाई है, तो सिद्ध कीजिए कि इसका 20 वाँ पद -112 है।
Sol :
Question 41
यदि किसी समांतर श्रेणी का सार्व-अन्तर d है और उसके n पदों का योग $S_{n}$ है, तब सिद्ध करें कि $d=S_{n}-2 S_{n-1}+S_{n-2}$
Sol :
Question 42
किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग 10 है और उसके अगले $(\mathrm{Next}) 7$ पदों का योग 17 है, तो समांतर श्रेणी ज्ञात करें।
Sol :
Question 43
यदि किसी समांतर श्रेणी का Pवाँ पद x है तथा q वाँ पद y है, तो दर्शायें कि इसके (p+q) पदों का योग $\frac{p+q}{2}\left[x+y+\left(\frac{x-y}{p-q}\right)\right]$ है।
Sol :
Question 44
(i) दो समांतर शेणियों के n पदों के योग (3n+8) : (7n+15) के अनुपात में हैं, तो उनके 12 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
(ii) दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योग (5n+4) : (9n+6) के अनुपात में हैं। उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात करें।
Question 45
किसी समांतरण श्रेणी के प्रथम n पदों के योग को $S_{n}$ से निरूपित करते हैं, यदि $S_{n}=n^{2} p$ और $S_{m}=m^{2} p(m \neq n)$, तो सिद्ध करें कि $S_{p}=p^{3}$
Sol :
Type IV : A.P. के n पदों के योग पर आधारित शब्द-प्रश्न (शब्द समस्याएँ) :
Question 46
प्रथम वर्ष में एक आदमी की आय 300000 रु० है और वह अगले 19 वर्यों तक 10000 रु० प्रतिवर्ष की दर से आय में वृद्धि प्राप्त करता है, तो उसके द्वारा 20 वर्षों में प्राप्त कुल राशि ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 47
एक आदमी अपने कर्ज की अदायगी 100 रु॰ के मासिक किस्त से शुरू करता है यदि वह मासिक किस्त में 5 रु० की वृद्धि करता जाता है, तो वह 30 किस्तों में कुल कितनी राशि चुकायेगा ।
Sol :
Question 48
किसी बहुभुज के अन्तः कोण समांतर श्रेणी में हैं। उसका न्यूनतम कोण $75^{\circ}$ तथा सार्व अन्तर $10^{\circ}$ है । बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिये ।
Sol :
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