Exercise 6.5
Question 1
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित करें कि उनमें कौन-कौन समकोण त्रिभुज हैं
(i) 8 cm, 15 cm, 17 cm
(ii) (2a-1) cm, $2 \sqrt{2 a} \mathrm{~cm}$, और (2a+1) cm
(iii) 7 cm , 24 cm, 25 cm
(iv) 1.4 cm, 4.8 cm , 5 cm
Sol :
Question 2
26 m लम्बी सीढ़ी जमीन से 24 m ऊँची खिड़की तक पहुँचती है । दीवार के आधार से सीढ़ी के पाद की दूरी ज्ञात करें ।
Sol :
Question 3
एक आदमी 15 cm ठीक पश्चिम जाता है तब 8 cm ठीक उत्तर जाता है वह आरंभिक दूरी से कितनी दूरी पर है ?
Sol :
Question 4
एक 10 cm लम्बी सीढ़ी जमीन से 8 m ऊँची भवन की चोटी तक पहुँचती है। भवन से सीढ़ी के पाद की दूरी ज्ञात करें ।
Sol :
Question 5
एक आयत के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात करें जिसकी आसन्न भुजाएँ 30 cmऔर 16 cm हैं।
Sol :
Question 6
13 m लम्बी सीढ़ी जमीन से 12 m ऊँचे किसी भवन की खिड़की तक पहुँचती है भवन से सीढ़ी के पाद की दूरी ज्ञात करें ।
Sol :
Question 7
एक समतल पर दो उध्वाधर स्तम्भ जिनकी ऊँचाइयाँ क्रमशः 9 m तथा 14 m हैं, खड़ी हैं यदि उनके पादों की बीच की दूरी 12 m हो तो उनके शिरों के बीच की दूरी ज्ञात करें।
Sol :
Question 8
एक आदमी 10 m दक्षिण और तब 24 m ठोक पश्चिम जाता है। वह आरंभिक बिन्दु से कितनी दूरी पर है?
Sol :
Question 9
एक आदमी 80 m पूरब जाता है और तब 150 उत्तर जाता है । आरंभिक बिन्दु से वह कितनी दूरी पर है ?
Sol :
Question 10
ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC=BC। यदि $\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}$ तो सिद्ध करें कि ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।
Sol :
Question 11
उस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा ज्ञात करें जिसके विकर्ण 24 cm और 10 cm हैं।
Sol :
Question 12
ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका ∠C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि $\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}$
Sol :
Question 13
समद्विबाहु ΔABC में AB=AC=13 cm । A से BC पर के लम्ब की लम्बाई 5 cm है तो BC ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 14
समबाहु त्रिभुज ABC में, AD⟂BC खींचा गया है जो BC से D पर मिलती है दो सिद्ध करें कि $\mathrm{AD}^{2}=3 \mathrm{BD}^{2}$
Sol :
Question 15
ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB=AC=2a इकाई और BC=a इकाई तो उसकी ऊँचाई ज्ञात करें।
Sol :
Question 16
2a इकाई भुजा का ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है इसकी प्रत्येक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 17
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करें जिसकी प्रत्येक भुजा 12 cm है ।
Sol :
Question 18
L और M क्रमश: ΔABC में AB और BC के मध्य बिन्दु हैं त्रिभुज ABC का कोण B समकोण है तो सिद्ध करें कि $4 \mathrm{LC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+4 \mathrm{BC}^{2}$
Sol :
Question 19
उस समचतुर्भुज का दूसरा विकर्ण ज्ञात करें जिसकी एक भुजा 5 cm तथा एक विकर्ण 6 cm है ।
Sol :
Question 20
ΔABC में, $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$ और D, BC का मध्य बिन्दु है तो सिद्ध करें कि $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+3 \mathrm{CD}^{2}$
Sol :
Question 21
ΔABC में, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$ और D , BC का मध्य बिन्दु है तो सिद्ध करें कि $\mathrm{AB}^{2}=4 \mathrm{AD}^{2}-3 \mathrm{AC}^{2}$
Sol :
Question 22
एक समद्विबाहु ΔABC में, AB=AC और BD⟂AC है। तो सिद्ध करें कि $\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{CD}^{2}=2 \mathrm{CD} . \mathrm{AD}$
Sol :
Question 23
चतुर्भुज ABCD में, $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$. यदि $\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}$, तो सिद्ध करें कि $\angle \mathrm{ACD}=90^{\circ}$ ।
Sol :
Question 24
समचतुर्भुज ABCD में सिद्ध करें कि $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{DA}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$
Sol :
Question 25
समबाहु ΔABC में, AD, Aसे भुजा BC पर खींचा गया लम्ब है। प्रमाणित करें कि $3 \mathrm{AB}^{2}=4 \mathrm{AD}^{2}$
Sol :
Type II : पाइथगोरस प्रमेय, इसके उप-प्रमेयों और अन्य परिणामों पर आधारित प्रश्न :
Question 26
ΔABC में, AB=AC. भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है प्रमाणित करें कि $\left(A D^{2}-A C^{2}\right)=B D \cdot C D$
Sol :
Question 27
ΔABC में, D भुजा BC का मध्यबिन्दु है और AC⟂BC । यदि AC>BC, दिखाएँ कि $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE}+\frac{1}{4} \mathrm{BC}^{2}$
Sol :
Question 28
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण B समकोण है भुजाओं AC और AB पर समरूप त्रिभुज ACD और ABE बनाये गये हैं। ΔABE और ΔACD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें ।
Sol :
Question 29
दिए गये चित्र में ΔPQR के अन्दर Q एक बिन्दु इस प्रकार है कि $\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$, OP=6 cm और OR=8 cm . यदि PQ=24 cm और QR=26 cm , सिद्ध करें कि ΔPQR एक समकोण त्रिभुज है।
Sol :
Question 30
दिए गये चित्र में D भुजा BC का मध्य बिन्दु है और AE⟂BC । यदि BC=a, AC=b, AB=c, ED=x, AD=p और AE=h, तो सिद्ध करें कि
(i) $b^{2}=p^{2}+a x+\frac{a^{2}}{4}$
(ii) $\left(b^{2}+c^{2}\right)=2 p^{2}+\frac{1}{2} \dot{a}^{2}$
(iii) $\left(b^{2}-c^{2}\right)=2 a x$
Sol :
Question 31
P और Q क्रमशः भुजाएँ CA और CB के मध्य बिन्दु हैं। ΔABC का कोण C समकोण है । सिद्ध करें कि $4\left(\mathrm{AQ}^{2}+\mathrm{BP}^{2}\right)=5 \mathrm{AB}^{2}$
Sol :
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