Exercise 7.3
Question 1
(i) उस बिन्दु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (2,4) एवं (6,8) को मिलानेवाली रेखाखण्ड को 1: 3 के अनुपात में अन्तः और बाह्य विभाजन करती है।
(ii) उस बिन्दु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो (-1,7) और (4,-3) को मिलानेवाली रेखाखण्ड को 2: 3 के अनुपात में अंतः विभाजित करती है ।
(iii) उस बिन्दु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (4,-3) और (8,5) को मिलानेवाली रेखाखण्ड को 3: 1 के अनुपात में अन्तःविभाजित करती है ।
Sol :
Question 2
(i) उस बिन्दुओं का निर्देशांक ज्ञात करें जो बिन्दुओं (2,3) और (6,5) को समत्रिभाग करती है ।
(ii) बिन्दुओं (1,-2) और (-3,4) को मिलाने वाली रेखाखंड को समत्रिभाग करनेवाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 3
(i) A और B के निर्देशांक क्रमशः (1,2) और (2,3) है । यदि P रेखाखंड AB पर इस प्रकार स्थित है कि $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{4}{3}$, तो P के निर्देशांक ज्ञात करें ।
Sol :
(ii) यदि A(4,-8), B(3,6) और C(5,-4), ΔABC के शीर्ष हैं । D, BC का मध्य बिन्दु है और P, AD पर एक बिन्दु है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए यदि $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}=2$ है ।
Sol :
(iii) यदि A(-2,-2) और B(2,-4) को मिलानेवाली रेखाखंड पर एक बिन्दु P इस प्रकार है कि
Sol :
(iv) A(1,4) और B(4,8) दो बिन्दुएँ है । P, AB पर एक ऐसा बिन्दु है कि AP=AB+BP । यदि AP=10, तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 4
A(2,3) और B(-3,5) को मिलानेवाली रेखाखंड को दोनों और उसकी लम्बाई के बराबर बढ़ा दिया गया है। अब नये छोरों के निर्देशांक ज्ञात करें ।
Sol :
Question 5
A(6,3) और B(-1,-4) को मिलानेवाली रेखाखंड की लम्बाई इसके दोनों सिरे को उसकी लम्बाई की आधी से बढ़ाने पर दुगुनी हो जाती है । नये सिरों के निर्देशांक ज्ञात करें।
Sol :
Question 6
दो बिन्दुओं A और B के निर्देशांकों क्रमशः (-1,4) और (5,1) हैं । बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो AB के बढ़े भाग पर इस प्रकार स्थित है कि B से इसकी दूरी A की दूरी से इसकी तीन गुनी है ।
Sol :
Question 7
मूल बिन्दु से उस बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (5,-4) और (3,-2) को मिलानेवाली रेखाखंड को 4: 3 के अनुपात में विभाजित करती है ।
Sol :
Question 8
(i) किसी त्रिभुज के भुजाओं के मध्य बिन्दुओं के निर्देशांक (1,1),(2,3) और (4,1) है, तो उसके शीर्पों के निर्देशांक ज्ञात करें। के निर्देशांक ज्ञात करें।
Sol :
(ii) यदि बिन्दुओं (10,5),(8,4) और (6,6) किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं तो त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें।
Sol :
(iii) किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (3,4),(4,6) और (5,7) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें।
Sol :
Question 9
A(1,-2) और B(2,5) दो बिन्दुएँ हैं रेखाएँ OA, OB को बढ़ाकर क्रमशः C और D तक ले जाये गये हैं इस प्रकार कि OC=2OA और OD=2OB, CD को ज्ञात करें।
Sol :
Question 10
शीर्ष (-1,3),(1,-1) और (5,1) वाले त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात करें ।
Sol :
Question 11
यदि ΔABC के शीर्ष A(1,5), B(-2,1) और C(4,1) हैं और ∠A की अंतर्द्वंक रेखा BC से D पर मिलती है, तो AD का मान ज्ञात करें।
Sol :
Question 12
यदि (3,4) और (k, 7) को मिलानेवाली रेखाखंड का मध्य बिन्दु (x, y) है और 2x+2y+1=0, तो k का मान ज्ञात करें।
Sol :
Question 13
(i) किसी वृत्त के व्यास का एक सिरा (2,3) पर है और केन्द्र (-2,5) पर है, तो व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक ज्ञात करें।
Sol :
(ii) बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ AB वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2,-3) है और $B \equiv(1,4)$ है ।
Sol :
Question 14
यदि बिन्दु C(-1,2), A(2,5) और B को मिलानेवाली रेखाखंड को 3: 4 के अनुपात में अन्त: विभाजन करता है तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 15
(i) वह अनुपात ज्ञात करें जिसमें बिन्दु (-8,3) उस रेखाखंड, जो (2,-2) और (-4,1) के मिलाने से बना है, को प्रतिच्छेद करती है।
(ii) किस अनुपात में बिन्दु (-4,6) उस रेखाखंड जो बिन्दुओंA(-6,10) और B(3,-8) को जोड़ने से बनी है को प्रतिच्छेद करती है ?
(iii) बिन्दुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़नेवाली रेखाखंड को बिन्दु (-1,6) किस अनुपात में विभाजित करती है ।
(iv) बिन्दुओं (-3,-4) तथा (3,5) को जोड़नेवाली रेखाखंड को बिन्दु (x, 2) किस अनुपात में बाँटती है । x का मान भी निकालें ।
Sol :
Question 16
(i) बिन्दुओं (2,-3) और (5,6) को जोड़नेवाली रेखाखंड को x-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है ।
(ii) वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलानेवाली रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात करें ।
(iii) वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें y-अक्ष बिन्दुओं (5,-6) और (-1,-4) को मिलानेवाली रेखाखंड को विभाजित करता है और विभाजन बिन्दु भी ज्ञात करें।
Sol :
Type II : त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांकों एवं उपयुक्त मूल बिन्दु एवं अक्षों का चयन कर ज्यामितीय परिणामों को सिद्ध करने पर आधारित प्रश्न :
Question 17
शीर्षों (2,4),(6,4),(2,0) वाले त्रिभुज के केन्द्रक ज्ञात करें ।
Sol :
Question 18
किसी त्रिभुज के शीर्ष (2,2),(0,6) और (8,10) हैं । प्रत्येक माध्यिका के समत्रिभाग बिन्दु जो सम्पुख पुजा के निकट है, के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 19
किसी त्रिभुज के दो शीर्ष (1,4) और (5,2) हैं । यदि उसका केन्द्रक (0,-3) है, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Sol :
Question 20
किसी त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक $(\sqrt{3}, 2)$ है और इसके दो शीर्ष $(2 \sqrt{3},-1)$ और $(2 \sqrt{3}, 5)$ हैं। त्रिभुज के तीसरे शीर्ष को ज्ञात करें।
Sol :
Question 21
ΔABC के केन्द्रक ज्ञात करें जिसके शीर्ष A(9,2), B(1,10) और C(-7,-6) हैं । त्रिभुज के भुजाओं के मध्य बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात करें।
Sol :
Question 22
यदि (1,2),(0,-1) और (2,-1) एक त्रिभुज के भुजाओं के मध्य बिन्दुएँ हों, तो केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात करें।
Sol :
Question 23
सिद्ध करें कि A(-3,2), B(-5,-5), C(2,-3) और D(4,4) एक समचतुर्भुज के शीर्ष हैं ।
Sol :
Question 24
दर्शाइए कि बिन्दुओं (3,2),(0,5),(-3,2) और (0,-1) एक वर्ग के शीर्ष है ।
Sol :
Question 25
सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (-2,-1),(1,0),(4,3) और (1,2) एक समानान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Sol :
Question 26
दर्शाइए कि बिन्दुएँ A(1,0), B(5,3), C(2,7) और D(-2,4) एक समचतुर्भुज के शीर्ष हैं ।
Sol :
Question 27
सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (4,8),(0,2),(3,0) और (7,6) एक आयत के शीर्ष हैं।
Sol :
Question 28
सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (4,3),(6,4),(5,6) और (3,5) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
Sol :
Question 29
यदि (6,8),(3,7) और (-2,-2) एक समानान्तर चतुर्भुज के तीन क्रमागत शीर्ष हैं, तो चौथे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें।
Sol :
Question 30
एक समचतुर्भुज के तीन क्रमागत शीर्ष (5,3),(2,7) और (-2,4) हैं । चौथे शीर्ष को ज्ञात करें।
Sol :
Question 31
एक चतुर्भुज के शीर्ष (-4,2),(2,6),(8,5) और (9,-7) है । दिखायें कि इस चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Sol :
Question 32
यदि बिन्दुओं A(6,1), B(8,2), C(9,4) और D(p, 3) एक समान्तर चतुर्भुज के क्रमानुसार लिए गये शीर्ष हों, तो p का मान ज्ञात करें।
Sol :
Question 33
सिद्ध करें कि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलानेवाली रेखाखंड तीसरी भुजा की आधी होती है ।
Sol :
Question 34
यदि P ,Q , R, ΔABC की भुजाओं BC, CA और AB को एक ही अनुपात में विभाजित करती है, तो सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC और त्रिभुज PQR के केन्द्रक संपाती है ।
Sol :
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