Exercise 7.4
Question 1
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्षं निम्नलिखित हैं :
(i) (3,-4),(7,5),(-1,10)
(ii) (-1.5,3),(6,-2),(-3,4)
(iii) (-5,-1),(3,-5),(5,2)
(iv) (5,2),(4,7),(7,-4)
(v) (2,3),(-1,0),(2,-4)
(vi) (1,-1),(-4,6),(-3,-5)
Sol :
Question 2
चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष निम्नलिखित हैं :
(i) (1,1),(7,-3),(12,2) और (7,21)
(ii) (-4,5),(0,7),(5,-5) और (-4,-2)
(iii) (-5,7),(-4,-5),(-1,-6) और (4,5)
(iv) (0,0),(6,0),(4,3) और (0,3)
(v) (1,0),(5,3),(2,7) और (-2,4)
Sol :
Question 3
चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्थ क्रमानुसार निम्नलिखित है :
(-4,-2),(-3,-5),(3,-2) और (2,3)
Sol :
Question 4
त्रिभुज की माध्यिका, त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभक्त करती है। ΔABC जिसके शीर्य A(1,2), B(2,5), C(3,1) है, के लिए इस कथन को सत्यापित करें ।
Sol :
Question 5
यदि A , B , C बिन्दु हैं क्रमशः (-1,5) ;(3,1) ;(5,7) हैं और D, E, F क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बिन्दु है । सिद्ध करें कि ΔABC=4ΔDFE
Sol :
Question 6
(i) एक त्रिभुज के तीनों शीर्ष A(1,2), B(3,6) और C(5,4) हैं । यदि D, E, F क्रमशः त्रिभुज के शीर्ष कोणों A, B, C के सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुएँ हों, तो दिखायें कि ΔABC का क्षेत्रफल, ΔDEF के क्षेत्रफल का चार गुना है ।
Sol :
(ii) किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि त्रिभुज के शीर्ष (0,-1),(2,1) और (0,3) हैं। इस त्रिभुज के क्षेत्रफल और दिये गये त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करें।
Sol :
Question 7
यदि किसी त्रिभुज के मध्य बिन्दुओं के निर्देशांक (-1,-2),(6,1) तथा (3,5) हैं तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
Sol :
Question 8
ΔABC के शीर्ष A(3,0), B(0,6) और C(6,9) हैं। एक सरल रेखा DE, AB और AC को 1:2 के अनुपात में क्रमशः D और E पर विभक्त करती है । सिद्ध करें कि $\frac{\triangle A B C}{\triangle A D E}=9$.
Sol :
Question 9
यदि (t, t-2),(t+3, t) और (t+2, t+2) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो सिद्ध करें कि इसका क्षेत्रफल t से मुक्त (स्वतंत्र) है ।
Sol :
Question 10
यदि A(x, y), B(1,2) और C(2,1) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसका क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है, तो सिद्ध करें कि x+y=15 या -9
Sol :
Question 11
सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (a, b+c),(b, c+a) और (c, a+b) संरेखी है ।
Sol :
Question 12
अगर बिन्दुएँ $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ संरेखी है तब दिखायें कि
$\frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} y_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0$
Sol :
Question 13
(i) यदि बिन्दुएँ $(a, b),\left(a_{1}, b_{1}\right)$ और $\left(a-a_{1}, b-b_{1}\right)$ संरेखी है, तो दिखायें कि $\frac{a}{a_{1}}=\frac{b}{b_{1}}$
(ii) यदि तीन बिन्दुएँ $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और C(x, y) संरेखी है तो सिद्ध करें कि $\left(x-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)=\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y-y_{1}\right)$
Sol :
Question 14
(i) सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (a, 0),(0, b) और (1,1) संरेखी है यदि $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ हो ।
(ii) यदि बिन्दुएँ A(a, 0) तथा B(0, b) को मिलानेवाली रेखा P(x, y) को बिन्दु है, तो दिखाएँ कि $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
Sol :
Question 15
(i) x का मान ज्ञात करें यदि बिन्दुएँ (2x, 2x),(3,2x+1) और (1,0) संरेखी हैं।
(ii) k का मान ज्ञात करें यदि बिन्दुएँ A(2,3), B(4, k) और C(6,-3) संरेखी हैं ।
(iii) k का मान बताएँ जिसके लिए बिन्दुएँ (7,-2),(5,1),(3, k) संरेखी हैं ।
(iv) k का मान ज्ञात करें जिसके लिए बिन्दुएँ (8,1),(k,-4),(2,-5) संरेखी हैं।
(v) p के किस मान के लिए बिन्दुएँ (2,1),(p,-1) और (-1,3) संरेखी हैं ।
Sol :
Question 16
दिखाइये कि A(0,-1) और B(15,2) को मिलानेवाली रेखा C(-1,2) एवं D(4,-5) को मिलानेवाली रेखाखंड को 2: 3 के अनुपात में अन्तःविभाजित करती है ।
Sol :
Question 17
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (a+1)(a+2),(a+2),(a+2)(a+3),(a+3); तथा (a+3)(a+4),(a+4)) हैं।
Sol :
Question 18
P(-5,1) और Q(3,5) को मिलानेवाली रेखाखण्ड कों बिन्दु A, k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। k के दो मान ज्ञात करें जिसके लिये ΔABC का क्षेत्रफल परिमाण में 2 इकाई है, जहाँ $\mathrm{B} \equiv(1,5)$ और $\mathrm{C} \equiv(7,-2)$ हैं।
Sol :
Question 19
A , B, C, D के निर्देशांक क्रमश: (6,3),(-3,5),(4,-2) तथा (x, 3x) हैं । यदि $\frac{\Delta \mathrm{DBC}}{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}$ तो x का मान ज्ञात करें।
Sol :
Question 20
यदि किसी चतुर्भुज जिसके शीर्षों के निर्देशांक क्रमानुसार (1,2),(-5,6),(7,-4) और (h,-2) हैं, का क्षेत्रफल शून्य है, तो दिखाइये कि h=3
Sol :
Question 21
21. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A, B, C क्रमशः (3,4),(-4,3),(8,6) हैं । साथ ही A से BC पर डाले गये लम्ब की लम्बाई भी ज्ञात करें।
Sol :
Question 22
किसी त्रिभुज के केन्द्रक और दो शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः $\left(\frac{2}{3}, 2\right)(2,3),(-1,2)$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल परिकलित करें।
Sol :
Question 23
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है । इसके दो शीर्षों के निर्देशांक A(3,1) और B(-2,-3) हैं। यदि त्रिभुज का केन्द्रक x-अक्ष पर स्थित है तो तीसरे शीर्ष C का निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 24
एक समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है । इसके दो शीर्ष A(-1,3) और B(-2,4) हैं। यदि विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु x-अक्ष पर इसके धनात्मक दिशा में स्थित हो, तो समानान्तर चतुर्भुज की शेष दो शीर्षों को ज्ञात करें।
Sol :
Question 25
प्रमाणित करें कि चतुर्भुज जिसके शीर्ष A(-2,5), B(4,-1), C(9,1) और D(3,7) हैं, एक समान्तर चतुर्भुज है । इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि E, AC को 2: 1 के अनुपात में विभक्त करती है, तो सिद्ध करें कि D, E और BC का मध्य बिन्दु F संरेखी है।
Sol :
Question 26
दिखायें कि बिन्दुएँ (-3,-1),(2,-1),(1,1) और (-2,1) क्रमानुसार एक समलंब चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Sol :
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