KC Sinha Solution Class 12 Chapter 4 Inverse Trigonometric Function Exercise 4.1 Q1-Q5

Exercise 4.1

Ex-4.1

Q1-Q5

Q6-Q11

Q12-Q19

TYPE 1

Question 1

Find the value of
(i)

$sin^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Sol :
Let

$sin^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)= \theta$ ..(i)
⇒

$sin \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
∵

$\left[sin \dfrac{\pi}{3}=sin \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$
⇒

$sin \theta = sin \dfrac{\pi}{3}$
⇒

$\theta =\dfrac{\pi}{3}$ ..(ii)
On comparing (i) and (ii) equations
⇒

$sin^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}$

(ii)

$tan^{-1} \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Sol :
⇒Let

$tan^{-1} \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)= \theta$ ..(i)
⇒

$tan \theta =-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
∵

$tan \dfrac{\pi}{6}=sin \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
⇒

$tan \theta =-tan \dfrac{\pi}{6}$
⇒

$tan \theta =tan \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
⇒

$\theta =-\dfrac{\pi}{6}$ ..(ii)
From (i) and (ii) , we get
⇒

$tan^{-1}=-\dfrac{\pi}{6}$

(iii)

$cot^{-1} (-\sqrt{3})$
Sol :
Note: cot^-1(-θ)=π-cot^-1θ
⇒cot^-1(-√3)=π-cot^-1(√3)
⇒

$cot^{-1} (-\sqrt{3})=\pi -cot^{-1} \left(cot \dfrac{\pi}{6}\right)$
⇒

$cot^{-1} (-\sqrt{3})=\pi-\dfrac{\pi}{6}$
⇒

$cot^{-1} (-\sqrt{3})=\dfrac{6\pi-\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$

(vi)

$cot^{-1}.cot \dfrac{5\pi}{4}$
Sol :
Let

$cot^{-1} . cot\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\theta$ ..(i)
⇒

$cot \theta=cot \dfrac{5\pi}{4}$
⇒

$cot \theta=cot \left(\pi +\dfrac{\pi}{4}\right)$
∵[cot(π+θ)=cotθ]
⇒

$cot \theta =cot \dfrac{\pi}{4}$
⇒

$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ..(ii)
From (i) and (ii) , we get
⇒

$cot^{-1}. cot \dfrac{5\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$

(v)

$tan^{-1} \left(tan\dfrac{3\pi}{4}\right)$
Sol :
Let

$tan^{-1} \left(tan\dfrac{3\pi}{4}\right)=\theta$ ..(i)
⇒

$tan \theta = tan \dfrac{3\pi}{4}$
⇒

$tan \theta = tan \left(\pi -\dfrac{\pi}{4}\right)$
[∵ tan(π-θ)=-tanθ]
⇒

$tan \theta=-tan \dfrac{\pi}{4}$
⇒

$tan \theta=tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$
⇒

$\theta=-\dfrac{\pi}{4}$ ..(ii)
From (i) and (ii) , we get
⇒

$tan^{-1}\left(tan \dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\pi}{4}$

(vi)

$sin^{-1} \dfrac{1}{2}+cos^{-1} \dfrac{1}{2}$
Sol :
Note :

$sin^{-1} x+ cos^{-1} x=\dfrac{\pi}{2}$
∴

$sin^{-1} \dfrac{1}{2} + cos^{-1} \dfrac{1}{2} =\dfrac{\pi}{2}$

(vii)

$tan^{-1} \left(tan \dfrac{7\pi}{6}\right)$
Sol :
Let

$tan^{-1}\left(tan \dfrac{7\pi}{6}\right)=\theta$ ..(i)
⇒

$tan \theta=tan\dfrac{7\pi}{6}$
⇒

$tan \theta=tan\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)$
[∵ tan(π+θ)=tanθ]
⇒

$tan \theta = tan \dfrac{\pi}{6}$
⇒

$\theta =\dfrac{\pi}{6}$ ..(ii)
From (i) and (ii) , we get
⇒

$tan^{-1} \left(tan \dfrac{7\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{6}$

(viii)

$cos^{-1}. cos \left(\dfrac{13\pi}{6}\right)$
Sol :
Let

$cos^{-1}. cos \left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\theta$ ..(i)
⇒

$cos \theta =cos \dfrac{13\pi}{6}$
⇒

$cos \theta =cos \left( \pi+\dfrac{7\pi}{6}\right)$
[∵ cos(π+θ)=-cosθ]
⇒

$cos \theta=-cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$
⇒

$cos \theta =-cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)$
⇒

$cos \theta =cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
⇒

$\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ..(ii)
From (i) and (ii) , we get
⇒

$cos^{-1}. cos \left(\dfrac{13\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{6}$

(ix)

$sin^{-1} \left(sin \dfrac{3\pi}{5}\right)$
Sol :
Let

$sin^{-1} \left(sin \dfrac{3\pi}{5}\right)=\theta$ ..(i)
⇒

$sin \theta =sin \dfrac{3\pi}{5}$
⇒

$sin \theta =sin \left(\pi -\dfrac{2\pi}{5}\right)$
[∵ sin(π-θ)=sinθ]
⇒

$sin \theta=sin \dfrac{2\pi}{5}$
⇒

$\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ ..(ii)
From (i) and (ii)
⇒

$sin^{-1} \left(sin \dfrac{3\pi}{5}\right)=\dfrac{2\pi}{5}$

Question 2

(i) tan^-1 (√3)
Sol :
Let tan^-1 (√3)=θ
⇒tanθ=√3
∵

$\left[tan \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\right]$
⇒

$tan \theta=tan \dfrac{\pi}{3}$
⇒

$\theta =\dfrac{\pi}{3}$

(ii)

$sin^{-1} \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
Sol :
Let

$sin^{-1} \left(-\dfrac{1}{2}\right)=\theta$
⇒

$sin \theta = -\dfrac{1}{2}$
∵

$\left[sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\right]$
⇒

$sin \theta =-sin \dfrac{\pi}{6}$
⇒

$sin \theta =sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$
⇒

$\theta=-\dfrac{\pi}{6}$
⇒

$sin^{-1} \left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$

(iii) tan^-1 (-1)
Sol :
Let tan^-1 (-1)=θ
⇒tanθ=-1
∵

$tan\dfrac{\pi}{4}=1$
⇒

$\theta=-\dfrac{\pi}{4}$
⇒

$tan^{-1} (-1)=-\dfrac{\pi}{4}$

(iv) cosec^-1 (2)
Sol :
Let cosec^-1 (2)=θ
⇒cosecθ=2
⇒

$cosec \theta =cosec \dfrac{\pi}{6}$
⇒

$\theta =\dfrac{\pi}{6}$
∴

$cosec^{-1} (2)=\dfrac{\pi}{6}$

(v)

$cos^{-1} \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
Sol :
Let

$cos^{-1} \left(-\dfrac{1}{2}\right)=\theta$
⇒

$cos \theta=-\dfrac{1}{2}$
⇒

$cos \theta = cos \dfrac{2\pi}{3}$
∴

$cos^{-1}=\dfrac{2\pi}{3}$

(vi)

$cos^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Sol :
Let

$cos^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\theta$
⇒

$cos \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
⇒

$cos \theta=\dfrac{\pi}{6}$
⇒

$\theta=\dfrac{\pi}{6}$
∴

$cos^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}$

(vii)

$cos^{-1} \left(cos \dfrac{2\pi}{3}\right)+sin^{-1} \left(sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$
Sol :
Let

$cos^{-1} \left(cos \dfrac{2\pi}{3}\right)=\alpha$ ,

$sin^{-1} \left(sin \dfrac{2\pi}{3}\right)=\beta$
⇒

$cos \alpha =cos \dfrac{2\pi}{3}$ ,

$sin \beta = sin \dfrac{2\pi}{3}$
⇒

$\alpha =\dfrac{2\pi}{3}$ ,

$sin \beta =sin \left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right)$
[∵ sin(π-θ)=sinθ]

$sin \beta = sin\dfrac{\pi}{3}$

$\beta = \dfrac{\pi}{3}$
⇒

$cos^{-1} \left(cos \dfrac{2\pi}{3}\right)+sin^{-1} \left(sin \dfrac{2\pi}{3}\right)$
⇒α+β
⇒

$\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{3}=\pi$

(viii)

$cos^{-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)-2sin^{-1} \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
Sol :
[∵ sin^-1 (-x)=-sin^-1 x]
⇒

$cos^{-1} \left(cos \dfrac{\pi}{3}\right)+2sin^{-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)$
⇒

$cos^{-1} \left(cos \dfrac{\pi}{3}\right)+2sin^{-1} \left(sin\dfrac{\pi}{6}\right)$
⇒

$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{6}$
⇒

$\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$

Question 3

(i)

$cos \left[tan^{-1}\left(\dfrac{3}{4}\right)\right]$
Sol :
Let

$tan^{-1}\dfrac{3}{4}=\theta$
⇒

$tan \theta =\dfrac{3}{4}=\dfrac{p}{b}$
[h=√p²+b²
=√3²+4²
=√25=5]
⇒

$cos \theta =\dfrac{b}{h}=\dfrac{4}{5}$
⇒

$\theta =cos^{-1} \dfrac{4}{5}$
⇒

$tan^{-1}\dfrac{3}{4}=cos^{-1}\dfrac{4}{5}$
On putting

$cos^{-1} \dfrac{4}{5}$ in the place of

$tan^{-1}\dfrac{3}{4}$
We get

$cos \left[cos^{-1}\dfrac{4}{5}\right]=\dfrac{4}{5}$

(ii)

$cos \left[cos^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\dfrac{\pi}{6}\right]$
Sol :
⇒

$cos \left[\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}\right]$
⇒

$cos \left[\dfrac{2\pi}{6}\right]=cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$

(iii)

$2arc~sin\left(\dfrac{1}{2}\right)+3arc~tan (-1)+2arc~cos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$
Sol :
⇒

$2sin^{-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)+3tan^{-1} (-1)+2cos^{-1} \left(-\dfrac{1}{2}\right)$
⇒

$2sin^{-1}\left(sin \dfrac{\pi}{6}\right)-3tan^{-1} (1)+2cos^{-1} \left(cos \dfrac{2\pi}{3}\right)$
⇒

$2sin^{-1}\left(sin \dfrac{\pi}{6}\right)-3tan^{-1} \left(tan \dfrac{\pi}{4}\right)+2cos^{-1} \left(cos \dfrac{2\pi}{3}\right)$
⇒

$2\times \dfrac{\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{4}+2\times \dfrac{2\pi}{3}$
⇒

$\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{4\pi-9\pi+16\pi}{12}$
⇒

$\dfrac{20\pi-9\pi}{12}=\dfrac{11\pi}{12}$

TYPE 2

Question 4

(i)

$tan^{-1} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$ |x|>1
Sol :
Putting x=secθ , then θ=sec^-1 x
Now ,

$tan^{-1} \left(\dfrac{1}{\sqrt{sec^2 \theta-1}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{1}{\sqrt{tan^{2} \theta}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{1}{tan \theta}\right)$
⇒tan^-1 cotθ
⇒

$tan^{-1} . tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$
⇒

$\dfrac{\pi}{2}-\theta=\dfrac{\pi}{2}-sec^{-1} x$

(ii)

$tan^{-1} \dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{2}$ , x≠0
Sol :
Putting x=tanθ and θ=tan^-1 x
Now

$tan^{-1} \dfrac{\sqrt{1+tan^2 \theta}-1}{tan \theta}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{\sqrt{sec^2 \theta}-1}{tan \theta}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{sec \theta -1}{tan \theta}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{\dfrac{1}{cos \theta}-1}{\dfrac{sin \theta}{cos \theta}}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{1-cos \theta}{cos \theta} \times \dfrac{cos \theta}{sin \theta}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{1- cos \theta}{sin \theta}$
∵

$\left[1-cos \theta=2sin^2 \dfrac{\theta}{2}\right]$
∵

$sin \theta =2sin \dfrac{\theta}{2}.cos \dfrac{\theta}{2}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{2sin^2 \dfrac{\theta}{2}}{2sin \dfrac{\theta}{2}.cos \dfrac{\theta}{2} }$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{sin \dfrac{\theta}{2}}{cos \dfrac{\theta}{2}}$
⇒

$tan^{-1} tan \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\theta}{2}$
⇒

$\dfrac{tan^{-1} x}{2}$

(iii)

$tan^{-1} \dfrac{cos x}{1+sinx}$
Sol :
Note:

$cos x=\dfrac{1-tan^2 \dfrac{x}{2}}{1+tan^2 \dfrac{x}{2}}$

$sin x=\dfrac{2tan \dfrac{x}{2}}{1+tan^2 \dfrac{x}{2}}$
⇒

$tan^{-1}\dfrac{\left(\dfrac{1-tan^2 \frac{x}{2}}{1+tan^2 \frac{x}{2}}\right)}{\left(1+\dfrac{2tan \frac{x}{2}}{1+tan^2 \frac{x}{2}}\right)}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{\left(\dfrac{1-tan^2 \frac{x}{2}}{1+tan^2 \frac{x}{2}}\right)}{\left(\dfrac{1+tan^2 \frac{x}{2}+2tan \frac{x}{2}}{1+tan^2 \frac{x}{2}}\right)}$
⇒

$tan^{-1} \left[\dfrac{1^2-tan^2 \frac{x}{2}}{\left(1+tan \frac{x}{2}\right)^2}\right]$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{\left(1-tan \frac{x}{2}\right)\left(1+tan \frac{x}{2}\right)}{\left(1+tan \frac{x}{2}\right)\times\left(1+tan \frac{x}{2}\right)}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{1-tan \frac{x}{2}}{1+tan \frac{x}{2}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{tan\frac{\pi}{4}-tan \frac{x}{2}}{1+tan\frac{\pi}{4}.tan \frac{x}{2}}\right)$

$\left[tan (A-B)=\dfrac{tanA-tanB}{1+tanA.tanB}\right]$
⇒

$tan^{-1} . tan\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$
⇒

$\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{2}$

(iv)

$cot^{-1} \left[\dfrac{\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx}}{\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx}}\right]$
Sol :
⇒

$cot^{-1}\left[\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{1-sinx}}{\sqrt{1+sinx}}}{1-\dfrac{\sqrt{1-sinx}}{\sqrt{1+sinx}}}\right]$
Note :

$1-cos \theta =2sin^2 \dfrac{\theta}{2}$

$1+cos \theta =2cos^2 \dfrac{\theta}{2}$
Now

$\sqrt{\dfrac{1-sinx}{1+sinx}}=\sqrt{\dfrac{1-cos\left(\frac{x}{2}-x\right)}{1+cos\left(\frac{x}{2}-x\right)}}$

$\sqrt{\dfrac{2 sin^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}{2cos^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}}$
⇒

$\dfrac{sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)}{cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)}=tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$
∴

$\sqrt{\dfrac{1-sin x}{1+sin x }}=tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$
⇒

$cot^{-1}\left(\dfrac{1+tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}{1-tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}\right)$
∵

$\dfrac{tan A+tanB}{1-tanA.tanB}=tan(A+B)$
⇒

$cot^{-1}\left(\dfrac{tan\frac{\pi}{4}+tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}{1-tan \frac{\pi}{4}.tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}\right)$
⇒

$cot^{-1} . tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$
⇒

$cot^{-1} cot \left(\dfrac{\pi}{2}-\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)\right)$
⇒

$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{2}$

(v)

$cos^{-1} \sqrt{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+1}{2\sqrt{1+x^2}}}$
Sol :
Putting x=tanθ , then θ=tan^-1 x
Now

$cos^{-1} \sqrt{\dfrac{\sqrt{1+tan^2 \theta}+1}{2\sqrt{1+tan^2 \theta}}}$
[∵ 1+tan²θ=sec²θ]
⇒

$cos^{-1} \sqrt{\dfrac{sec\theta+1}{2 sec \theta}}$
⇒

$cos^{-1} \sqrt{\dfrac{1+cos \theta}{\dfrac{2}{cos \theta}\times cos \theta}}$
⇒

$cos^{-1} \sqrt{\dfrac{1+cos \theta}{2}}$
⇒

$cos^{-1} \sqrt{\dfrac{2cos^2 \frac{\theta}{2}}{2}}$
⇒

$cos^{-1} . cos\dfrac{\theta}{2}$
⇒

$\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{tan^{-1}x}{2}$

(vi)

$tan^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$
Sol :
Putting x=cosθ , then

$\theta=\dfrac{1}{2}cos^{-1}x$
Now ,

$tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{1+cos2\theta}-\sqrt{1-cos2\theta}}{\sqrt{1+cos2\theta}+\sqrt{1-cos2\theta}}\right)$
⇒

$tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2cos^2\theta}-\sqrt{2sin^2\theta}}{\sqrt{2cos^2\theta}+\sqrt{2sin^2\theta}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{\sqrt{2}cos \theta-\sqrt{2}sin \theta}{\sqrt{2}cos \theta+\sqrt{2}sin \theta}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{\sqrt{2}(cos \theta-sin \theta)}{\sqrt{2}(cos \theta+sin \theta)}$
[dividing by cosθ]
⇒

$tan^{-1}\left(\dfrac{1-tan\theta}{1+tan \theta}\right)$
⇒

$tan^{-1}\left(\dfrac{tan \dfrac{\pi}{4}-tan\theta}{1+tan \dfrac{\pi}{4} .tan \theta}\right)$
⇒

$tan^{-1} tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right)$
⇒

$\dfrac{\pi}{4}-\theta$
⇒

$\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2} cos^{-1}x$

TYPE 3

Question 5

Prove that:
(i)

$tan^{-1} \dfrac{2}{11}+tan^{-1} \dfrac{7}{24}$
Sol :
Note:

$tan^{-1} A+tan^{-1} B=tan^{-1}\left(\dfrac{A+B}{1-AB}\right)$
Now , L.H.S =

$tan^{-1} \dfrac{2}{11}+tan^{-1} \dfrac{7}{24}=tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{2}{11}+\dfrac{7}{24}}{1-\dfrac{2}{11}\times \dfrac{7}{24}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{48+77}{264}}{1-\dfrac{14}{264}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{125}{250}\right)=tan^{-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)$ =R.H.S
Hence Proved

(ii)

$tan^{-1} \dfrac{1}{2}+tan^{-1} \dfrac{1}{3}=tan^{-1} \dfrac{3}{5}+tan^{-1} \dfrac{1}{4}=\dfrac{\pi}{4}$
Sol :
Note :

$tan^{-1} A + tan^{-1} B = tan^{-1} \left(\dfrac{A+B}{1-AB}\right)$
Now L.H.S=

$tan^{-1}\dfrac{1}{2}+tan^{-1}\dfrac{1}{3}=tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{3+2}{6}}{\dfrac{6-1}{6}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{5}{5}\right)=tan^{-1} (1)$
⇒

$tan^{-1} \left(tan \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ R.H.S..(i)
Again , L.H.S=

$tan^{-1} \dfrac{3}{5}+tan^{-1} \dfrac{1}{4}=tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{4}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{12+5}{20}}{1-\dfrac{3}{20}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{17}{20}}{\dfrac{20-3}{20}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{17}{17}\right)=tan^{-1} (1)$
⇒

$tan^{-1} \left(tan \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ ..(ii)
From (i) and (ii) , we get

$tan^{-1} \dfrac{1}{2}+tan^{-1} \dfrac{1}{3}=tan^{-1} \dfrac{3}{5}+tan^{-1} \dfrac{1}{4}=\dfrac{\pi}{4}$
Hence Proved

(iii)

$tan^{-1} \dfrac{2a-b}{b\sqrt{3}}+tan^{-1} \dfrac{2b-a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{3}$
Sol :
L.H.S =

$tan^{-1} \dfrac{2a-b}{b\sqrt{3}}+tan^{-1} \dfrac{2b-a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{3}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{2a-b}{b\sqrt{3}}+\dfrac{2b-a}{a\sqrt{3}}}{1-\dfrac{2a-b}{b\sqrt{3}}\times \dfrac{2b-a}{a\sqrt{3}}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}(2a-b)+b\sqrt{3}(2b-a)}{b\sqrt{3}.a\sqrt{3}}}{1-\dfrac{(2a-b)(2b-a)}{b\sqrt{3}.a\sqrt{3}}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{2\sqrt{3}a^2-ab\sqrt{3}+2\sqrt{3}b^2-ab\sqrt{3}}{b\sqrt{3}.a\sqrt{3}}}{\dfrac{b\sqrt{3}.a\sqrt{3}-(4ab-2a^2-2b^2+ab)}{b\sqrt{3}.a\sqrt{3}}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{2\sqrt{3}a^2+2\sqrt{3}b^2-2ab\sqrt{3}}{3ab-4ab+2a^2+2b^2-ab}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{2\sqrt{3}(a^2+b^2-ab)}{2(a^2+b^2-ab)}\right)$
⇒

$tan^{-1} (\sqrt{3})=tan^{-1} (tan \dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\pi}{3}$ =R.H.S
Hence Proved

(iv)

$tan^{-1} \dfrac{2}{5}+tan^{-1} \dfrac{1}{3}+tan^{-1} \dfrac{1}{12}=\dfrac{\pi}{4}$
Sol :
L.H.S=

$tan^{-1} \dfrac{2}{5}+tan^{-1} \dfrac{1}{3}+tan^{-1} \dfrac{1}{12}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{2}{5}+\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}}\right)+tan^{-1} \dfrac{1}{12}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\dfrac{6+5}{15}}{\dfrac{15-2}{15}}\right)+tan^{-1} \dfrac{1}{12}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{11}{13}\right)+tan^{-1} \dfrac{1}{12}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{11}{13}+\frac{1}{12}}{1-\frac{11}{13}\times \frac{1}{12}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{132+13}{156}}{\frac{156-11}{156}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{145}{145}\right)=tan^{-1}$
⇒

$tan^{-1} \left(tan\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ =R.H.S proved

(v)

$2tan^{-1} \dfrac{1}{5}+tan^{-1} \dfrac{1}{4}=tan^{1} \dfrac{32}{45}$
Sol :
∵

$\left(2tan^{-1} x=tan^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\right)$
⇒

$2tan^{-1} \dfrac{1}{5}=tan^{-1} \left(\dfrac{2\dfrac{1}{5}}{1-\dfrac{1}{5^2}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{25-1}{25}}=tan^{-1} \dfrac{10}{24}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{5}{12}$
∴

$2tan^{-1} \dfrac{1}{5}=tan^{-1} \dfrac{5}{12}$
Now, L.H.S

$2tan^{-1} \dfrac{1}{5}+tan^{-1} \dfrac{1}{4}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{5}{12}+tan^{-1} \dfrac{1}{4}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{5}{12}+\frac{1}{4}}{1-\frac{5}{12}\times \frac{1}{4}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{20+12}{48}}{\frac{48-5}{48}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{32}{43}\right)$ R.H.S proved

(vi)

$2tan^{-1} \dfrac{1}{2}+tan^{-1} \dfrac{1}{7}=tan^{-1} \dfrac{31}{17}$
Sol :
Note :

$\left(2tan^{-1} x=tan^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2}\right)$
⇒

$2 tan^{-1} \dfrac{1}{2}=tan^{-1} \dfrac{2\times \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2^2}}$

$=tan^{-1} \dfrac{1}{1-\frac{1}{4}}=tan^{-1} \dfrac{4}{4-1}$

$=tan^{-1} \dfrac{4}{3}$
Now , L.H.S =

$2tan^{-1} \dfrac{1}{2}+tan^{-1} \dfrac{1}{7}$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{4}{3}+tan^{-1} \dfrac{1}{7}$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{4}{3}+\frac{1}{7}}{1-\frac{4}{3}\times \frac{1}{7}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{28+3}{21}}{\frac{21-4}{21}}\right)$
⇒

$tan^{-1} \dfrac{31}{17}$ R.H.S proved

(vii) tan^-1 1+tan^-1 2+tan^-1 3=π

$=2(tan^{-1} 1+tan^{-1}\dfrac{1}{2}+tan^{-1}\dfrac{1}{3})$
Sol :
L.H.S =tan^-1 1+tan^-1 2+tan^-1 3
=

$tan^{-1} \left(\dfrac{1+2}{1-1\times2}\right)+tan^{-1}3$
=

$tan^{-1} \left(\dfrac{3}{1-2}\right)+tan^{-1}3$
=

$tan^{-1} \left(\dfrac{3}{-1}\right)+tan^{-1}3$
=tan^-1 3 - tan^-1 3
=

$tan^{-1} \left(\dfrac{3-3}{1+3\times 3}\right)$
=

$tan^{-1} \left(\dfrac{0}{10}\right)=tan^{-1}0$
=tan^-1(tanπ)=π=R.H.S..(i)
Again , R.H.S=

$2\left(tan^{-1} 1+tan^{-1} \dfrac{1}{2}+tan^{-1} \dfrac{1}{3}\right)$
=

$2\left\{tan^{-1}\left(\dfrac{1+\frac{1}{2}}{1-1\times \frac{1}{2}}\right)+tan^{-1} \dfrac{1}{3}\right\}$
=

$2\left\{tan^{-1}\left(\dfrac{\frac{3}{2}}{\times \frac{2-1}{2}}\right)+tan^{-1} \dfrac{1}{3}\right\}$
=

$2 \left\{tan^{-1} \dfrac{3}{1}+tan^{-1} \dfrac{1}{3}\right\}$
=

$2 \left\{tan^{-1} \left(\dfrac{3+\frac{1}{3}}{1-3\times \frac{1}{3}}\right) \right\}$
=

$2 \left\{tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{1-1}{3}}\right) \right\}$
=

$2 \left\{tan^{-1} \left(\dfrac{10}{0}\right) \right\}$
=

$2 \left\{ tan^{-1} (undefined)\right\}=2\left\{tan^{-1} tan \dfrac{\pi}{2}\right\}$
=

$2 \dfrac{\pi}{2}=\pi$ L.H.S ..(ii)
From (i) and (ii)
⇒tan^-1 1+tan^-1 2+tan^-1 3=π

$=2(tan^{-1} 1+tan^{-1}\dfrac{1}{2}+tan^{-1}\dfrac{1}{3})$

(viii)

$tan^{-1} \left[2cos \left(2sin^{-1} \dfrac{1}{2}\right)\right]$
Sol :
Given ,

$tan^{-1} \left[2cos \left(2sin^{-1} \dfrac{1}{2}\right)\right]$
=

$tan^{-1} \left[2cos (2sin^{-1} sin \dfrac{\pi}{6})\right]$
=

$tan^{-1} \left[2cos \left(2 \dfrac{\pi}{6}\right)\right]$
=

$tan^{-1} \left[2cos \dfrac{\pi}{3}\right] =\tan^{-1} \left[2\times \dfrac{1}{2}\right]$
=

$tan^{-1} (1)=tan^{-1} \left(tan \dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ R.H.S
proved

(ix)

$tan^{-1} \left(sin^{-} \dfrac{3}{5}+cot^{-1} \dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{17}{6}$
Sol :
Let

$sin^{-1} \dfrac{3}{5}=\alpha$ and

$cot^{-1} \dfrac{3}{2}=\beta$
⇒

$sin \alpha =\dfrac{3}{5} , cot \beta =\dfrac{3}{2}$
⇒

$tan \alpha =\dfrac{3}{4} , tan \beta =\dfrac{2}{3}$
⇒

$\alpha=tan^{-1} \dfrac{3}{4} , \beta=tan^{-1} \dfrac{2}{3}$
⇒

$sin^{-1} \dfrac{3}{5}=tan^{-1} \dfrac{3}{4} , cot^{-1} \dfrac{3}{2}=tan^{-1} \dfrac{2}{3}$
Now , L.H.S=

$tan \left(sin^{-1} \dfrac{3}{5}+cot^{-1} \dfrac{3}{2}\right)$

$=tan\left(tan^{-1} \dfrac{3}{4}+tan^{-1} \dfrac{2}{3}\right)$

$=tan \left(tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}}\right)\right)$

$=tan \left(tan^{-1} \left(\dfrac{\frac{9+8}{12}}{\frac{12-6}{12}}\right)\right)$
=

$tan \left(tan^{-1} \dfrac{17}{6}\right)=\dfrac{17}{6}$ R.H.S
proved

(x)

$tan^{-1} \left(\dfrac{1}{2} sin^{-1} \dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$
Sol :
Let

$\left(\dfrac{1}{2} sin^{-1} \dfrac{3}{4}\right)=\theta$
⇒

$sin^{-1} \dfrac{3}{4}=2\theta$
⇒

$sin^{-1} 2\theta=\dfrac{3}{4}$
⇒

$\dfrac{2tan \theta}{1+tan^{2}\theta}=\dfrac{3}{4}$
⇒8 tanθ=3(1+tan²θ)
⇒8 tanθ=3+3tan²θ)
⇒3tan²θ-8tanθ+3=0
Let tanθ=x , then 3x²-8x+3=0
Discriminant (D)=b²-4ac
=(-8)²-4×3×3
=64-36=28>0

$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-(-8) \pm \sqrt{28}}{2\times3}$

$x=\dfrac{8 \pm \sqrt{4\times 7}}{2\times 3}=\dfrac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2\times 3}$

$x=\dfrac{2(4 \pm \sqrt{7})}{2\times 3}=\dfrac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

$x=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ or

$x=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$
⇒

$tan\theta=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$
⇒

$\theta=tan^{-1}\left(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\right)$
⇒

$\dfrac{1}{2} sin^{-1} \dfrac{3}{4}=\theta=tan^{-1} \left(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\right)$
⇒

$tan\left(tan^{-1} \left(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\right)\right)=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ R.H.S
Proved