KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 8 रैखिक समीकरणों के निकाय का हल (solution of system of linear equations) Exercise 8.1 (Q4-Q6)

Exercise 8.1




Question 4
 यदि (if)$A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right], A^{-1}$ निकाले (find A-1) इसका उपयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल करे ।
[Use it to solve the following systems of equations]
(i) 2 x-3 y+5 z=16
3 x+2 y-4 z=-4
x+y-2 z=-3
Sol :
$|A|=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right|$

$=2\left|\begin{array}{cc}2 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right|+5\left|\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right|$

=2(-4+4)+3(-6+4)+5(3-2)
=2(0)+3(-2)+5(1)
=0-6+5
=-1≠0

$A^{-1}$ का अस्तित्व है

$a d{j} A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\ 1 & -9 & -5 \\ 2 & 23 & 13\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot a d{j} A=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13\end{array}\right]$

(i)
2 x-3 y+5 z=16
3 x+2 y-4 z=-4
x+y-2 z=-3

Sol :
The system of equation is non-homogeneous

Let $A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right]$ , $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$  , $B=\left[\begin{array}{c}16 \\ -4 \\ -3\end{array}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13\end{array}\right]$

|A|≠0

समीकरण निकाय के अद्विती हल होगा

X=A-1B

$\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}16 \\ -4 \\ -3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & -4 & +6 \\ -32 & -36 & +69 \\ -16 & -20 & +39\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]$

x=2 , y=1 , z=3


(ii) 
2x-3y+5z=11
3x+2y-4z=-5
x+y-2z=-3
Sol :






Question 5

गुणन (Use product) $\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$ का प्रयाग समीकरण निकाय (to solve the system of equations) को हल करने के लिए करे
x-y+2z , 2y-3z=1 , 3x-2y+4z=2
Sol :
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-2-9+12 & 0-2+2 & 1+3-4 \\ -0+18-18 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -6-18+24 & 0-4+4 & 3+6-8\end{array}\right]$

the system of equation is non-homogeneous

∴$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$

|A|≠0

समीकरण निकाय के अद्विती हल है ।

X=A-1B

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2+0+2 \\ 9 +2-6 \\ 6 +1-4\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 3\end{array}\right]$

∴x=0,y=5,z=3

Question 6

तीन संख्याओं का योग 6 हैं। यदि हम तीसरी संख्या को 3 से गुणा करके दूसरी संख्या में जोड़ दें तो हमें 11 प्राप्त होता है । पहली और तीसरी को जोड़ने सं हमें दूसरी संख्या का दुगुना प्राप्त होता है। इसका बीजगणितीय निस्नपण कीजिए और आव्यूह विधि से दूसरी संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

[The sum of three numbers is 6. If we multiply third number by 3 and add second number to it, we get 11. By adding first and third numbers. we get double of the second number. Represent it algebraically and find the numbers using Matrix Method.]
Sol :
माना पहली संख्या =x

दूसरी संख्या=y

तीसरी संख्या=z

x+y+z=6..(i)

y+3z=11..(ii)

x+z=2y

x-2y+z=0..(iii)

 
(ii) तीन संख्याओं का योग -1 है। यदि हम दूसरी संख्या को 2 से गुणा कर और तीसरी संख्या को 3 से गुणा कर जोड़ते हैं तो 5 प्राप्त होता है । यदि हम तीसरी संख्या को पहली और दूसरी के योगफल से घटाते हैं तो हमें -1 प्राप्त होता है। इसे समीकरण निकाय के रूप में निरूपित करें । आव्यूह के प्रतिलोम का प्रयोग कर संख्याओं को निकालें।

[The sum of three numbers is -1. If we multiply second number by 2 . third number by 3 and add them we get 5 . If we subtract the third number from the sum of first and second numbers, we get -1. Represent it by a system of equations. Find the numbers using inverse of a matrix.I
Sol :





(iii) 4 kg प्याज, 3 kg गाहूँ और 2 kg चावल का मूल्य 60 रु० है । 2 kg प्याज, 4 kg गेहुँ और 6 kg चावल का मूल्य 90 रु० है। 6 kg प्याज, 2 kg गेहूँ और 3 kg चावल का मूल्य 70 रु० है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिए।
[The cost of 4 kg onion, 3 kg wheat and 2gk  rice is Rs. 60 . The cos of 2 kg onion, 4 wheat and 6 kg rice in Rs. 90 . The cost of 6 kg onion, 2 kg wheat and 3 kg rice is Rs. 70 . Find cost of each item per kg by matrix method.]
Sol :
1 kg प्याज का मूल्य=x
1 kg गेंहूँ का मूल्य=y
1 kg चावल का मूल्य=z

प्रश्न से ,

4x+3y+2z=60..(i)
2x+4y+6z=90
2(x+2y+3z)=90
x+2y+3z=45..(ii)

6x+2y+3z=70..(iii)

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