KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 5 आव्यूह ( Matrices ) Exercise 5.1 (Q1-Q10)

Ex-5.1

Exercise 5.1

Question 1

(i) 7 अवयवों वाले आव्यूहों की संख्या है ....

[The number of matrices laving 7 elements is ....]

Sol :

(ii) 6 अवयत्रों वाले आव्यूहों की संख्या है ....

[The number of matrices having 6 elements is ....]

Sol :

Question 2
आव्यूह को संभव कांटियाँ क्या हैं यदि इसमे
(i) 5 अवयव हैं
(ii) 8 अवयव हैं
(iii) 24 अवयव हैं
(iv) 13 अवयव हैं
(v) 18 अवयव हैं
[What are the possible orders a matrix can have if it has]:
(i) 5 elements
(ii) 8 elements
(iii) 24 elements
(iv) 13 elements
(v) 18 elements

Sol :
(i) 1×5 , 5×1
(ii) 1×8 , 8×1 , 2×4 , 4×2
(iii)1×24 , 24×1 , 2×12 , 12×2 , 3×8 , 8×3 , 4×6 , 6×4
(iv) 1×13 , 13×1
(v) 1×18 , 18×1 , 2×9 , 9×2 , 3×6 , 6×3

Question 3
(i) एक 2×3 आव्यूह बनाएँ जिसका अवयव $a_{ij}=i+2j$ द्वारा प्रदत्त है ।
[Construct a 2×3 matrix whose elements are given by $a_{ij}=i+2j$]

Sol :

Let A=$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}$

a_ij=i+2j

a₁₁=1+2(1)=1+2=3
a₁₂=1+2(2)=1+4=5
a₁₃=1+2(3)=1+6=7
a₂₁=2+2(1)=2+2=4
a₂₂=2+2(2)=2+4=6
a₂₃=2+2(3)=2+6=8

∴A=$\begin{bmatrix}3&5&7\\4&6&8\end{bmatrix}$

(ii) एक 3×2 आव्यूह की रचना करें जिसके अवयव $a_{ij}=\dfrac{1}{2}|i-3j|$ से प्रदत्त है ।
[Construct a 3×2 matrix whose elements are given by $a_{ij}=\dfrac{1}{2}|i-3j|$]

Sol :
Let A=$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix}$

$a_{ij}=\dfrac{1}{2}|i-3j|$

$a_{11}=\dfrac{1}{2}|1-3(1)|=\dfrac{1}{2}|-2|$ $=\dfrac{1}{2}\times 2=1$

$a_{12}=\dfrac{1}{2}|1-3(2)|=\dfrac{1}{2}|-5|$ $=\dfrac{1}{2}\times 5=\dfrac{5}{2}$

$a_{21}=\dfrac{1}{2}|2-3(1)|=\dfrac{1}{2}|-1|$ $=\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{2}$

$a_{22}=\dfrac{1}{2}|2-3(2)|=\dfrac{1}{2}|-4|$ $=\dfrac{1}{2}\times 4=2$

$a_{31}=\dfrac{1}{2}|3-3(1)|=\dfrac{1}{2}|0|=0$

$a_{32}=\dfrac{1}{2}|3-3(2)|=\dfrac{1}{2}|-3|$ $=\dfrac{1}{2}\times 3=\dfrac{3}{2}$

∴A=$\begin{bmatrix}1&\frac{5}{2}\\\frac{1}{4}&2\\0&\frac{3}{2}\end{bmatrix}$

Question 5

एक 2×2 आव्यूह की रचना करें जिसके अवयव निम्नलिखित है :

[Construct a 2×2 matrix whose elements are]

(i)$a_{i j}=\frac{(i+j)^{2}}{2}$

Sol :

Let A $=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21}, & a_{22}\end{array}\right]$

$a_{i j}=\frac{(i+j)^{2}}{2}$

$a_{11}=\dfrac{(1+1)^{2}}{2}=\dfrac{4}{12}=2$

$a_{12}=\frac{(1+2)^{2}}{2}=\frac{9}{2}$

$a_{21}=\frac{(2+1)^{2}}{2}=\frac{9}{2}$

$a_{22}=\frac{(2+2)^{2}}{2}=\frac{16}{2}=8$

$A=\left[\begin{array}{ll}2 & \frac{5}{2} \\ \frac{9}{2} & 8\end{array}\right]$

(ii)$a_{i j}=\frac{(i+2 j)^{2}}{2}$

Sol :

Question 6

एक 3×4 आव्यूह $A=[A_{iij}]$ की रचना करें जिसके अवयव निम्न प्रकार से प्रदत्त हैं।

[Constuct a 3×4 matrix $A=[A_{iij}]$ whose elements are given by]

(i) $a_{i j}=i-j$

(ii) $a_{i j}=i+j$

(iii) $a_{i j}=i . j$

(iv) $a_{i j}=\frac{i}{j}$

(v) $a_{i j}=2 i-j$

(vi) $a_{i j}=\frac{1}{2}|-3 i+j|$

Sol :

Question 7

आव्यूह $\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 5 \\ 2 & -3 & 4\end{array}\right]$ में (In the matrix) $\left[\begin{array}{lrl}1 & 0 & 5 \\ 2 & -3 & 4\end{array}\right]$

(i) पोक्तियों की संख्या ___ है।

[Number of rows is ___]

(ii) स्तम्भों की संख्या ___ है।

[Number of column is ___]

(iii) आव्यूह की कोटि ___ है।

[Order of the matrix is ___]

(iv) प्रविष्टियों की संख्या ___ है।

[Number of entries is ___ ]

Sol :

Question 8

माना $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ , तो निम्नलिखित में कौन सत्य है।

Let $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ then which of the following is true

(i) A एक विकर्ण आव्यूह है लेकिन अदिश आव्यूह नहीं है।

A is a diagonal matrix but not a scalar matrix

Sol :

[True]

(ii) A एक अदिश आव्यूह है लेकिन विर्कण आव्यूह नहीं है।

A is a scalar matrix but not a diagonal matrix

Sol :

[False]

(iii) A विकर्ण आव्यूह तथा अदिश आव्यूह दोनो है।

A is a diagonal matrix as well as scalar matrix

Sol :

[False]

Question 9

A यदि पंक्ति आव्यूह तथा स्तम्भ आव्यूह दोनों है तो A का कोटि है__

[ If A is a row matrix as well as a column matrix , then order of A is ___ ]
Sol :
1×1
or
[a₁₁]

Question 10

( माना ) Let $\mathrm{A}=\left[a_{i j}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 5 \\ 3 & 4 & -6 \\ 9 & 15 & 13\end{array}\right]$ ( तथा )and $\mathrm{B}=\left[b_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17\end{array}\right]$

(i)

आव्यूह A का कोटि है।