KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 9 संतता या सांतत्य (continuity) Exercise 9.1 (Q1-Q4)

Exercise 9.1

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Question 1

निम्नलिखित फलनों के सांतत्य (संतता) की जाँच दुए हुए बिन्दुओं पर कीजिए ।
[Examine the continuity of the following functions at indicated points]

[Note : f(x), x=a
f(a)𝜖R
$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$]

(i) f(x)=2x+3 , (at) x=1 पर

Sol :
x=1 पर ,

 f(1)=2(1)+3
=5𝜖R

∴f(x) , x=1 पर परिभाषित है ।

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \equiv \lim _{x \rightarrow 1}(2 x+3)$
=2(1)+3
=5

$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)$

∴ f(x) , x=1 पर संतता(continuous) है


(ii) f(x)=2x²-1 , (at) x=3 पर
Sol :
x=3 पर ,

f(3)=2(3)²-1
=17𝜖R

∴ f(x) , x=3 पर परिभाषित है ।

$\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3}\left(2 x^{2}-1\right)$

=2(3)²-1=17

$\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=f(3)$

∴ x=3 , f(x) संतता है ।


(iii) f(x)=5x-3 , (at) x=0 , -3 , 5 पर
Sol :
x=0 पर ,
f(0)=5(0)-3
=-3

f(x),x=0 पर परिभाषित है ।

$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)-\lim _{x \rightarrow 0}(5 x-3)$
=5(0)-3
=-3

$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)$

∴ f(x),x=0 पर संतता है ।

(b) x=-3 पर ,

f(-3)=5(-3)-3
=-18∈R

∴f(x),x=-3 पर संतता है ।

$=\lim _{x \rightarrow-3} f(x)=\lim_{x\rightarrow-3}(5x-3)$

=5(-3)-3

=-18

$\lim _{x \rightarrow-3} f(x)=f(-3)$

∴ f(x),x=-3  पर संतता है ।

(iv) $f(x)=x^{3}+1$. (at) x=1 पर

Sl :

(v) $f(x)=x^{2}$, (at) x=0 पर

Sol :

Question 2

साबित करें कि फलन $f(x)$, जहाँ

[Prove that the function f(x) where]
f(x)=4x+3 when x
=3x+7 , when x=4
x=4  पर संतता है । (is continuous at x=4)
Sol :
$f(x)=\left\{\begin{array}{l}4 x+3, \text {when } x \neq 4\left\{\begin{array}{l}x<4 \\ x>4\end{array}\right. \\ 3 x+7, \text{when }x=4\end{array}\right.$

x=4 ,

L.H.L
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 4^{-}}(4 x+3)$

$=\lim _{h \rightarrow 0}[4(4-h)+3]$

$=\lim _{h \rightarrow 0}[16-4 h+3]$

$=\lim _{h \rightarrow 0}(19-4h)$

=19-4(0)=19

R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 4^{+}}(4 x+3)$

$=\lim _{h \rightarrow 0}[4(4+h)+3]$

$=\lim_{h \rightarrow 0}(16+4 h+3]$

$=\lim_{h \rightarrow 0}(19+4h)$

=19+4(0)

=19

f(4)=3(4)+7
=19

∴$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)=f(4)$

f(x), x=4 पर संतता(continuous) है

ALTERNATE METHOD

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}4 x+3, \text {when } x \neq 4\left\{\begin{array}{l}x<4 \\ x>4\end{array}\right. \\ 3 x+7, \text{when }x=4\end{array}\right.$

L.H.L
$\lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 4}(4 x+3)$
=4(4)+3=19

R.H.L
$\lim_{x\rightarrow4^{-}}f(x)=\lim _{x \rightarrow 4^+}(x)=f(
4)$

f(x),x=4  पर संतता(continuous) है

Question 3

दिखाएँ कि फलन 

[Show that the function]
$f(x)=\left\{\begin{array}{r}x^{3}+3, \text { if } x \neq 0 \\ 1,\text { if } x=0\end{array}\right.$
x=4 पर असंतत है [is discontinuous at x=4]
Sol :
At x=0
L.H.L
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+3\right)$

$=\lim _{h \rightarrow 0}\left[(0-h)^{3}+3\right]$

$=\lim _{h \rightarrow 0}\left[-h^{3}+3\right]$

$=-0^{3}+3$

=3


R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+3\right)$

$=\lim _{h \rightarrow 0}\left[(0+h)^{3}+3\right]$

f(0)=1

∴$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(2)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$≠f(0)

<to be added>

Question 4

यदि (If) f(x)=0 when x=0
$=\frac{1}{2}-x$ ,when $0<x<\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}$ when $x=\frac{1}{2}$

तो x=0 तथा $x=\frac{1}{2}$ पर f(x) के सातत्य की जाँच करें ।

[then test the continuity of f(x) at x=0 and $x=\frac{1}{2}$. ]

Sol :
At 2=0
R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{2}-x\right)$

$=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$

f(0)=0

$\therefore \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq f(0)$

Hence , f(x) is discontinuous at x=0

ALTERNATE METHOD

At $x=\frac{1}{2}$
L.H.L
$\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}-x\right)$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$

∴$\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}^{-}}f(x)\neq f\left(\frac{1}{2}\right)$

<to be added>