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KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 9 संतता या सांतत्य (continuity) Exercise 9.1 (Q13-Q16)

Exercise 9.1











Question 13

(a)
 सिद्ध करें कि वास्तविक संख्याओं पर तत्समक फलन f(x)=x संतत होता है।
[Prove that the identity function f(x)=x is a continuous function on real numbers]
Sol :
Let c∈R <to be added>

At x=c

f(c)=c∈R

f(x), x=c पर परिभाषित है ।

\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(x)=c

\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)

\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(x)=c

<to be added>

(b) सिद्ध करें कि निम्नलिखित फलन अपने परिभाषा प्रान्त में संतत है।
[Prove that the following functions are continuous function in their domains of definition]
(i) tan x
Sol :
Let f(x)=tan x

f(x)=R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z

f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

∵sin x तथा(and) cos x , xR पर संतता (continuous) होता है

f(x)=tan x , x \in R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n\in z पर संतता (continuous) है


(ii) sec x
Sol :
Let f(x)=sec x

=R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z

f(x)=\sec x=\frac{1}{\cos x}

∵ cos x , x∈R पर संतता (continuous) होता है

f(x)=sec x, x∈R पर संतता (continuous) होगा लेकिन cosx≠0

x \in R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z

(iii) cosec x
Sol :
Let f(x)=cosec x

=R-nπ , nz

f(x)=cosecx=\frac{1}{\sin x}

∵sinx, xR पर संतता (continuous) होता है

f(1)=cosecx, xR पर संतता (continuous) होगा लेकिन sinx≠0

xR-nπ , nz

Question 14

निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार करें।
[Discuss the continuity of the following functions]

(i) f(x)=x-5
Sol :

(ii) f(x)=x^{3}+x^{2}-1
Sol :

(iii) f(x)=sinxcosx
Sol :
f(x)=sinxcosx

f(x)=\frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x

f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x

Let cR <to be added>

f(c)=\frac{1}{2} \sin 2 c \in R

f(x), x=c  पर परिभाषित है ।

\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{2} \sin 2 x

=\frac{1}{2} \sin 2 c

\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)

f(x) ; x=cR पर संतता (continuous) है


(iv) f(x)=sinx+cosx
Sol :
f(x)=sinx+cosx

=\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)

=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right)

=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} \tan x+\sin \frac{\pi}{4} \cos x\right)

f(x)=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)

<to be added>

f(c)=\sqrt{2} \sin \left(c+\frac{\pi}{4}\right) \in R

∴f(x), x=c  पर परिभाषित है ।

\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)

=\sqrt{2} \sin \left(c+\frac{\pi}{4}\right)

\lim _{x \rightarrow c}f(x)=f(x)

f(x), x=cR पर संतता (continuous) है


Question 15

दिखाएँ कि निम्नलिखित फलन संतत फलन है ।
[Show that the following functions are continuous functions]
(i) sin |x|
Sol :
Let h(x)=sin |x|

Let f(x)=sin x , g(x)=|x|

<to be added>

(fog)(x)=f(g(x))
=f(|x|)
=sin |x|
=h(x)

f(1)=sin x तथा g(2)=|x| संतता फलन है ।

∴fog भी एक संतता फलन होगा।

h(x)=sin|x| एक संतता फलन है ।

(ii) |cos x|
Sol :
Let h(x)=|cosx|

Let f(x)=|x| , g(x)=cosx

domain(f)=R ,range(g)=[-1,1]

range(g)≤domain(f)

∴fog  परिभाषित है ।

fog(x)=f(g(x))
=f(cos x)

=|cos x|=h(x)

f(x)=|x|, तथा g(x)=cos x संतता फलन हैं ।

fog भी संतता फलन होगा ।

h(x)=|cos x| एक संतता फलन है ।

(iii) \sin x^{2}
Sol :


Question 16

निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार करें ।
[Discuss the continuity of the following functions]
(i) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, \text{if }x\leq 1 \\ x-2,\text{if }x>1\end{array}\right.
Sol :
At x=1

L.H.L
\lim_{x\rightarrow1^-} f\left(x\right)=\lim _{x \rightarrow 1}(x+2)

=1+1
=2

R.H.L
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x-2)
=1-2
=-1

\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)

f(x),x=1 पर असंतता हैं


(ii) f(x)=|x-5|
Sol :
∵|x| एक संतता फलन होता है , x𝜖R

|x-5| भी सभी बिन्दुओ पर संतता होगा ।


(iii) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+5,\text{if }x\leq1 \\ x-5, (if) x>1\end{array}\right.
Sol :
At x=1

L.H.L
\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x+5)
=1+5
=6

R.H.L
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x-5)
=1-5
=-4

\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)\neq\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)

f(x), x=1 पर असंतता है

(iv) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2,\text{if }x\leq1 \\ -x+2, (if) x>1\end{array}\right.
Sol :
At x=0

L.H.L
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}(x+2)
=0+2
=2

R.H.L
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}(-x+2)
=-0+2
=2

f(0)=0+2=2

f(x),x=0 पर संतता है ।


(v) f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2,\text{if }x\leq -1 \\ 2 x,\text{if }-1<x\leq1 \\ 2,\text{if }x>1\end{array}\right.
Sol :
At x=1

L.H.L
\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1}(-2)=-2

R.H.L
=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1}(2x)
=2(-1)
=-2

f(-1)=-2

\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=f(-1)

f(x),x=-1 पर संतता है ।

(v) f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2,\text{if }x\leq -1\\ 2 x ,\text{if }-1<x\leq 1\\ 2,\text{if }x>1\end{array}\right.
Sol :
At x=1 ,

L.H.L
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(2 x)
=2×1
=2

R.H.L
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(2)=2

f(1)=2(1)=2

\therefore \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)

f(x),x=1 पर संतता है ।

(vi) f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x-\cos x, \text {if } x \neq 0\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ x>0\end{array}\right. \\-1, \text{if }x=0\end{array}\right.
Sol :
At x=0

L.H.L
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}(\sin x-\cos x)
=sin0-cos0
=0-1
=-1

R.H.L
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin x-\cos x\right)
=sin0-cos0
=0-1
=-1

f(0)=-1

\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=f(0)

f(x), x=0 पर संतता हैं ।


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