Exercise 9.1
Question 13
KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 9 संतता या सांतत्य (continuity) Exercise 9.1 (Q13-Q16)
[Prove that the identity function f(x)=x is a continuous function on real numbers]
Sol :
Let c∈R <to be added>
At x=c
f(c)=c∈R
∴f(x), x=c पर परिभाषित है ।
$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(x)=c$
∴$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$
$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(x)=c$
<to be added>
(b) सिद्ध करें कि निम्नलिखित फलन अपने परिभाषा प्रान्त में संतत है।
Sol :
Let c∈R <to be added>
At x=c
f(c)=c∈R
∴f(x), x=c पर परिभाषित है ।
$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(x)=c$
∴$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$
$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(x)=c$
<to be added>
(b) सिद्ध करें कि निम्नलिखित फलन अपने परिभाषा प्रान्त में संतत है।
[Prove that the following functions are continuous function in their domains of definition]
(i) tan x
Sol :
Let f(x)=tan x
$f(x)=R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z$
$f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
∵sin x तथा(and) cos x , x∈R पर संतता (continuous) होता है
∴f(x)=tan x , $x \in R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n\in z$ पर संतता (continuous) है
(ii) sec x
Sol :
Let f(x)=sec x
$=R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z$
$f(x)=\sec x=\frac{1}{\cos x}$
∵ cos x , x∈R पर संतता (continuous) होता है
∵f(x)=sec x, x∈R पर संतता (continuous) होगा लेकिन cosx≠0
$x \in R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z$
(iii) cosec x
Sol :
Let f(x)=cosec x
=R-nπ , n∈z
f(x)=cosecx$=\frac{1}{\sin x}$
∵sinx, x∈R पर संतता (continuous) होता है
∴f(1)=cosecx, x∈R पर संतता (continuous) होगा लेकिन sinx≠0
x∈R-nπ , n∈z
(i) tan x
Sol :
Let f(x)=tan x
$f(x)=R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z$
$f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
∵sin x तथा(and) cos x , x∈R पर संतता (continuous) होता है
∴f(x)=tan x , $x \in R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n\in z$ पर संतता (continuous) है
(ii) sec x
Sol :
Let f(x)=sec x
$=R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z$
$f(x)=\sec x=\frac{1}{\cos x}$
∵ cos x , x∈R पर संतता (continuous) होता है
∵f(x)=sec x, x∈R पर संतता (continuous) होगा लेकिन cosx≠0
$x \in R-(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in z$
(iii) cosec x
Sol :
Let f(x)=cosec x
=R-nπ , n∈z
f(x)=cosecx$=\frac{1}{\sin x}$
∵sinx, x∈R पर संतता (continuous) होता है
∴f(1)=cosecx, x∈R पर संतता (continuous) होगा लेकिन sinx≠0
x∈R-nπ , n∈z
Question 14
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार करें।
[Discuss the continuity of the following functions](i) f(x)=x-5
Sol :
(ii) $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$
Sol :
(iii) f(x)=sinxcosx
Sol :
f(x)=sinxcosx
$f(x)=\frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x$
$f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x$
Let c∈R <to be added>
$f(c)=\frac{1}{2} \sin 2 c \in R$
∴f(x), x=c पर परिभाषित है ।
$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{2} \sin 2 x$
$=\frac{1}{2} \sin 2 c$
∴$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$
f(x) ; x=c∈R पर संतता (continuous) है
(iv) f(x)=sinx+cosx
Sol :
f(x)=sinx+cosx
$=\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)$
$=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right)$
$=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} \tan x+\sin \frac{\pi}{4} \cos x\right)$
$f(x)=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
<to be added>
$f(c)=\sqrt{2} \sin \left(c+\frac{\pi}{4}\right) \in R$
∴f(x), x=c पर परिभाषित है ।
$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
$=\sqrt{2} \sin \left(c+\frac{\pi}{4}\right)$
∴$\lim _{x \rightarrow c}f(x)=f(x)$
f(x), x=c∈R पर संतता (continuous) है
Question 15
दिखाएँ कि निम्नलिखित फलन संतत फलन है ।
[Show that the following functions are continuous functions](i) sin |x|
Sol :
Let h(x)=sin |x|
Let f(x)=sin x , g(x)=|x|
<to be added>
(fog)(x)=f(g(x))
=f(|x|)
=sin |x|
=h(x)
∴ f(1)=sin x तथा g(2)=|x| संतता फलन है ।
∴fog भी एक संतता फलन होगा।
h(x)=sin|x| एक संतता फलन है ।
(ii) |cos x|
Sol :
Let h(x)=|cosx|
Let f(x)=|x| , g(x)=cosx
domain(f)=R ,range(g)=[-1,1]
range(g)≤domain(f)
∴fog परिभाषित है ।
fog(x)=f(g(x))
=f(cos x)
=|cos x|=h(x)
∵f(x)=|x|, तथा g(x)=cos x संतता फलन हैं ।
∴fog भी संतता फलन होगा ।
h(x)=|cos x| एक संतता फलन है ।
(iii) $\sin x^{2}$
Sol :
Question 16
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार करें ।
[Discuss the continuity of the following functions](i) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, \text{if }x\leq 1 \\ x-2,\text{if }x>1\end{array}\right.$
Sol :
At x=1
L.H.L
$\lim_{x\rightarrow1^-} f\left(x\right)=\lim _{x \rightarrow 1}(x+2)$
=1+1
=2
R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x-2)$
=1-2
=-1
$\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$
f(x),x=1 पर असंतता हैं
(ii) f(x)=|x-5|
Sol :
∵|x| एक संतता फलन होता है , x𝜖R
|x-5| भी सभी बिन्दुओ पर संतता होगा ।
(iii) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+5,\text{if }x\leq1 \\ x-5, (if) x>1\end{array}\right.$
Sol :
At x=1
L.H.L
$\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x+5)$
=1+5
=6
R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x-5)$
=1-5
=-4
∴$\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)\neq\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)$
f(x), x=1 पर असंतता है
(iv) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2,\text{if }x\leq1 \\ -x+2, (if) x>1\end{array}\right.$
Sol :
At x=0
L.H.L
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}(x+2)$
=0+2
=2
R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}(-x+2)$
=-0+2
=2
f(0)=0+2=2
∴f(x),x=0 पर संतता है ।
(v) $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2,\text{if }x\leq -1 \\ 2 x,\text{if }-1<x\leq1 \\ 2,\text{if }x>1\end{array}\right.$
Sol :
At x=1
L.H.L
$\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1}(-2)=-2$
R.H.L
$=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1}(2x)$
=2(-1)
=-2
f(-1)=-2
∴$\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=f(-1)$
f(x),x=-1 पर संतता है ।
(v) $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2,\text{if }x\leq -1\\ 2 x ,\text{if }-1<x\leq 1\\ 2,\text{if }x>1\end{array}\right.$
Sol :
At x=1 ,
L.H.L
$\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(2 x)$
=2×1
=2
R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(2)=2$
f(1)=2(1)=2
$\therefore \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)$
f(x),x=1 पर संतता है ।
(vi) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x-\cos x, \text {if } x \neq 0\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ x>0\end{array}\right. \\-1, \text{if }x=0\end{array}\right.$
Sol :
At x=0
L.H.L
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}(\sin x-\cos x)$
=sin0-cos0
=0-1
=-1
R.H.L
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin x-\cos x\right)$
=sin0-cos0
=0-1
=-1
f(0)=-1
∴$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=f(0)$
f(x), x=0 पर संतता हैं ।
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