KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग ( Some Applications Of Trigonometry ) Exercise 9.1 (Q21-Q30)

 Exercise 9.1

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Question 21

किसी वृक्ष का ऊपर का भाग जो आँधी से टुट कर पृथ्वी से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष की जड़ से उस बिन्दु की दूरी जहाँ वृक्ष का ऊपरी शिरा पृथ्वी को छुता है 25 m है। वृक्ष की प्रारंभिक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Sol : 

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 30°$=\frac{PQ}{25}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{25}$

PQ$=\frac{25}{\sqrt{3}}$ m

cos θ$=\frac{B}{H}$

cos 30°$=\frac{25}{PR}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25}{PR}$

$PR=\frac{25}{\sqrt{3}}\times 2$

∴प्रारंभिक ऊँचाई =PQ+PR

$=\frac{25}{\sqrt{3}} +\frac{25}{\sqrt{3}}\times 2$

$=\frac{25+50}{\sqrt{3}}=\frac{75}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{75\sqrt{3}}{3}$

=25√3 m

∴वृक्ष की प्रारंभिक ऊँचाई=25√3 m

Question 22

एक बिजली का खम्भा 10 m ऊँचा है । एक स्टील का तार , खम्भे की चोटी से बाँध कर, (इसे सीधा खड़ा रखने के लिए) जमीन पर एक बिन्दु से स्थिर (fix) कर दिया गया है। यदि स्टील तार खम्भें कीं जड़ से जाने वाली क्षैतिज रेखा से 45° का कोण बनाता है, तो स्टील तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

sin θ$=\frac{P}{H}$

sin 45°$=\frac{PQ}{PR}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{10}{PR}$

PR=10√2 m

स्टील तार की लम्बाई=10√2 m

Question 23

एक नदी को पार करने में एक आदमी को पुल की दिशा में (एक छोर से दूसरे छोर तक) जाने में 250 m दूरी तय करनी पड़ती है। यदि पूल नदी के किनारे के साथ 30° का कोण बनाती है, तब नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना ABCD एक पुल है। PQ नदी की चौड़ाई है, PR दोनो छोर को बीच की दूरी है तथा पुल एवं किनारे है, तो पुल की चौड़ाई PQ=?

∴ΔPQR में,

PR=250 m, ∠R=30° , PQ=?

sin θ$=\frac{P}{H}=\frac{PQ}{PR}$

sin 30°$=\frac{PQ}{250}$

$\frac{1}{2}=\frac{PQ}{250}$

$PQ=\frac{250}{2}$

PQ=125 m

Question 24

एक वायुयान , जमीन से 30° कोण पर उड़ता हुआ 184 m की दूरी तय करता है। वायुयान जमीन से कितनी ऊपर होगी ।

Sol :

ΔPQR में,

RP=184 m , PQ=?

sin θ$=\frac{P}{H}$

sin 30°$=\frac{PQ}{RP}$

$\frac{1}{2}=\frac{PQ}{184}$

$PQ=\frac{184}{2}$=92 m

∴जमीन से वायुयान की ऊँचाई=92 m

Question 25

1.5 m लम्बा एक आदमी पेड़ की चोटी को देखता है और पाता है कि पेड़ की चोटी उसके आँख पर 60° का उन्नयन कोण बनाता है । यदि पेड़ से आदमी की दूरी 36 m हो, तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

In ΔPQR में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 60°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PQ}{36}$

PQ=36√3 m

पेड़ की ऊँचाई=(PQ+QB)

=36√3+1.5

=62.352+1.5

=63.852

Question 26

एक आदमी जो $1 \frac{3}{4} \mathrm{~m}$ लम्बा है मन्दिर के चोटी का उन्नयन कोण 30° पाता है यदि आदमी की दूरी मन्दिर से 15 m है, तो मन्दिर की ऊँचाई बताइये।

Sol :

In ΔPQR में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 30°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{15}$

PQ$=\frac{15}{\sqrt{3}}$

PQ=5√3

मन्दिर की ऊँचाई=PQ+QB

=5√3+1.75

=8.660+1.75=10.41 m

Question 27

एक ध्वजदंड, एक उदग्र (vertical) मीनार पर खड़ा है । मीनार की जड़ से 10 m दूर स्थित बिन्दु से मीनार एवं ध्वजदंड क्रमशः 45° एवं 15° के कोण बनाते हैं। ध्वजदंड की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

Sol :

ΔPRQ में,

RQ=10 m , ∠PRQ=45° , PQ=?

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 45°$=\frac{PQ}{RQ}$

$1=\frac{PQ}{10}$

PQ=10 m

ΔARQ में,

RQ=10 m , ∠ARQ=60° , AQ=?

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 60°$=\frac{AQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PQ}{10}$

AQ=10√3 m

∴ध्वजदंड की लम्बाई=AQ-PQ

=10√3-10

=10×1.732-10

=17.32-10

=7.32

Question 28

एक मीनार पर 20 m लम्बा ध्वजदंड खड़ा है । धरती तल पर के एक बिन्दु से ध्वज दंड के पाद और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं । मीनार की ऊँचाई बताइये ।

Sol :

ΔPRQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 30°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{RQ}$

$PQ=\frac{RQ}{\sqrt{3}}$...(i)

ΔARQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 60°$=\frac{AQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{AP+PQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{20+PQ}{RQ}$  [दिया है: AP=20 m ] 

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{20+\frac{RQ}{\sqrt{3}}}{RQ}$ [ (i) सें]

$RQ\sqrt{3}=20+\frac{RQ}{\sqrt{3}}$

$RQ\sqrt{3}-\frac{RQ}{\sqrt{3}}=20$

$\frac{RQ\sqrt{3}\times \sqrt{3}-RQ}{\sqrt{3}}=20$

3RQ-RQ=20×√3

2RQ=20√3

$RQ=\frac{20\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$

RQ को (i) में रखने पर,

$PQ=\frac{RQ}{\sqrt{3}}$  [(i) से]

$PQ=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 

PQ=10 m

मीनार की ऊँचाई PQ=10 m

Question 29

एक मीनार पर एक ध्वजदंड खड़ा है । मीनार के पाद से 60 m कर दूरी पर तल पर के एक बिन्दु से ध्वज दंड के पाद और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° है । ध्वजदंड की ऊँचाई बताइये।

Sol :

ΔPRQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 30°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{60}$

$PQ=\frac{60}{\sqrt{3}}$

$PQ=\frac{3\times 20}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}\times 20}{\sqrt{3}}$

PQ=20√3 m

ΔARQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 60°$=\frac{AQ}{RQ}$

$\sqrt{3}=\frac{AQ}{60}$

AQ=60√3 m

ध्वदजंड की ऊँचाई=AQ-PQ

=60√3-20√3 

=√3(60-20)

=40√3 m

Question 30

एक पैंडस्टल के शिखर पर एक 1.46 m ऊँची मूर्ति लगी है । भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है । पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात करे।

Sol :

ΔPRQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 45°$=\frac{PQ}{RQ}$

$1=\frac{PQ}{RQ}$

PQ=RQ..(i)

ΔARQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}$

tan 60°$=\frac{AQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{AP+PQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{1.46+PQ}{RQ}$ [Given : AP=1.46]

$\sqrt{3}=\frac{1.46+PQ}{PQ}$  [From (i)]

$\sqrt{3}=\frac{1.46}{PQ}+\frac{PQ}{PQ}$

$\sqrt{3}=\frac{1.46}{PQ}+1$

$1.732-1=\frac{1.46}{PQ}$

$\frac{0.732}{1}=\frac{1.46}{PQ}$

PQ=$\frac{1.46}{0.732}$

PQ=1.99436

PQ=2 m

पेडस्टल की ऊँचाई ( PQ )=2 m