KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग ( Some Applications Of Trigonometry ) Exercise 9.1 (Q41-Q50)

 Exercise 9.1

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Question 41

दो उध्र्वाधार खम्भों के बीच की दूरी 100 m है और एक की ऊँचाई दूसरें की दुगुनी है । दोनों खम्भों के पादों को मिलाने वाली रेखा पर के किसी बिन्दु पर खम्भों के शिखरों के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। उनकी ऊँचाइयाँ ज्ञात कीजिए ।

Sol :

छोटे स्तंभों की ऊँचाई x

बड़े स्तंभो की ऊँचाई=2x बिन्दु B से दोनों स्तंभों के पाद की दूरी SR तथा RQ 

ΔTRS में,

tan 60°$=\frac{TS}{SR}$

$\sqrt{3}=\frac{TS}{SR}$

$\sqrt{3}=\frac{2x}{SR}$

$SR=\frac{2x}{\sqrt{3}}$

ΔPRQ में,

tan 30°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x}{RQ}$

RQ=x√3

SQ=100

SR+RQ=100

$\frac{2x}{\sqrt{3}}+x\sqrt{3}=100$

$\frac{2x+3x}{\sqrt{3}}=100$

5x=100√3

x=20√3

छोटे स्तंभों की ऊँचाई x=20√3

बड़े स्तंभो की ऊँचाई=2x =2(20√3)

=40√3

Question 42

30 m चौड़ी सड़क के दोनों तरफ समान ऊँचाई के दो खम्भें है । दोनों खम्भों के बीच स्थिति बिन्दु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं।  खम्भों की ऊँचाई एवं बिन्दु की स्थिति ज्ञात कीजिए।

Sol :

स्तंभों की ऊँचाई =TS=PQ=x

बिन्दु B से दोनों स्तंभों के पाद की दूरी SR तथा RQ 

ΔPRQ में,

tan 30°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{RQ}$

RQ=PQ√3

या RQ=x√3

ΔTRS में,

tan 60°$=\frac{TS}{SR}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{TS}{SR}$

$SR=\frac{TS}{\sqrt{3}}$

$SR=\frac{x}{\sqrt{3}}$

SQ=30

SR+RQ=30

$\frac{x}{\sqrt{3}}+x\sqrt{3}=30$

$\frac{x+3x}{\sqrt{3}}=30$

4x=30√3

$x=\frac{30\sqrt{3}}{4}$

x=12.99

स्तंभों की ऊँचाई =TS=PQ=x=12.99 m

बिन्दु B से दोनों स्तंभों के पाद की दूरी SR तथा RQ 

$SR=\frac{x}{\sqrt{3}}=\dfrac{\frac{30\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}}$

$SR=\frac{30}{4}$

SR=7.5 m

RQ=x√3

RQ$=\frac{30\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{3}$

$RQ=\frac{90}{4}$

RQ=22.4 m

Question 43

एक पेड़ के आधार से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और मीनार के आधार से पेड़ के शिखर का उन्नयन कोण 30° है । यदि मीनार की उँचाई 50 m हो, तो पेड़ की ऊचाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

पेड़ की ऊँचाई ( PQ )

पेड़ तथा मीनार के पाद की दूरी ( RQ ) 

ΔPRQ में,

tan 30°=\frac{PQ}{RQ}

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{RQ}$ 

$PQ=\frac{RQ}{\sqrt{3}}$

ΔSQR में,

tan 60°$=\frac{SR}{RQ}$  [Given : SR=50 m]

$\sqrt{3}=\frac{50}{RQ}$

$RQ=\frac{50}{\sqrt{3}}$

पेड़ की ऊँचाई ( PQ )

$PQ=\frac{RQ}{\sqrt{3}}$

$PQ=\dfrac{\frac{50}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$

$PQ=\frac{50}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}$

$PQ=\frac{50}{3}=16\frac{2}{3}$

Question 44

कोई उधर्वाधर मीनार 10 m ऊँचे झंडे के खम्भे की चोटी पर समकोण बनाती हैं। यदि उनके बीच की दूरी 10 m हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

Sol :

PQ=PQ=10 m

∠PRQ=∠QPR=45°

∠SPR=∠QRP=45° (alternate interior angle)

∠RPT=90° (given)

∠SPR+∠TPS=90°

45°+∠TPS=90°

∠TPS=90°-45°=45°

∠TPS=45°

ΔTPS मे,

tan 45°$=\frac{TS}{SP}$

$1=\frac{TS}{10}$ [Given : SP=10 m]

TS=10 m

मीनार की ऊँचाई=AE+DE

=10+10=20 m

Question 45

एक चट्टान के शिखर का उन्नयन कोण 100 m ऊँचे मीनार के शिखर और पाद से क्रमशः 30° और 45° हैं। चट्टान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । .

Sol :

चट्टान की ऊँचाई PR=PQ+QR या

=PQ+TS=PQ+100

चट्टान के पाद से मीनार के पाद की दूरी ( RS )=QT=y

ΔPSR में,

tan 45°$=\frac{PR}{RS}$

$1=\frac{PR}{RS}$

RS=PR

RS=PQ+QR

RS=PQ+TS

RS=PQ+100...(i)

ΔPTQ में,

tan 30°$=\frac{PQ}{QT}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{RS}$

RS=PQ√3....(ii)

(i) और (ii) से,

PQ+100=PQ√3

PQ√3-PQ=100

PQ(√3-1)=100

PQ(1.732-1)=100

$PQ=\frac{100}{0.732}$

PQ=136.61

चट्टान की ऊँचाई PR=PQ+QR

PR=136.61+100

PR=236.61

Question 46

एक मीनार के शिखर से 7 m ऊँचे भवन के शिखर और पाद के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

Sol :

मीनार की ऊँचाई ( PR )

मीनार के पाद तथा भवन के पाद के बीच की दूरी RS=QT

∠UPT=∠PTQ=45° (alternate interior angle)

∠PSR=∠TPS=60° (alternate interior angle)

ΔPTQ में,

tan 45°$=\frac{PQ}{QT}$

$1=\frac{PQ}{RS}$

RS=PQ....(i)

ΔPSR में,

tan 60°$=\frac{PR}{RS}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PR}{RS}$

RS√3=PR

PQ√3=PQ+QR

PQ√3=PQ+7

PQ√3=PQ+7 [from (i)]

PQ√3-PQ=7

PQ(√3-1)=7

PQ(1.732-1)=7

$PQ=\frac{7}{0.732}$

PQ=9.56 m

मीनार की ऊँचाई ( PR )

PR=PQ+QR

=9.56+7

=16.56 m

Question 47

एक भवन सड़क के दूसरी तरफ के खम्भे के शिखर पर समकोण बनाता है । खम्भ एवं भवन के शिखरों को मिलाने वाली रेखा उदग्र (vertical) के साथ 60° का कोण बनाती है । यदि सड़क की चौड़ाई 45m है, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

Sol :

भवन की ऊँचाई ( TR )

TR=TS+SR

सड़क की चौड़ाई 45m =SP=RQ

∠TPS+∠SPR=90°

60°+∠SPR=90°

∠SPR=90°-60°=30°

ΔSPR में,

tan 30°$=\frac{}{SP}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{SR}{45}$

$\frac{45}{\sqrt{3}}=SR$

$SR=\frac{45}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

SR=15√3 m

ΔTPS में,

tan 60°$=\frac{TS}{SP}$

$\sqrt{3}=\frac{TS}{45}$

TS=45√3 m

भवन की ऊँचाई ( TR )

TR=TS+SR

=15√3 m+45√3 m

=60√3 m

Question 48

h मीटर ऊँचे भवन की चोटी और पाद से एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं। सिद्ध करें कि मीनार की ऊँचाई $\frac{h \tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha}$ है ।

Sol :

मीनार की ऊँचाई ( PR )

PR=PQ+QR

PR=PQ+h

मीनार के पाद से भवन के पा की बीच की दूरी QT=RS=y

ΔPTQ,

tan ⍺$=\frac{PQ}{QT}$

tan ⍺$=\frac{PQ}{RS}$

RS$=\frac{PQ}{\tan \alpha}$

ΔPSR,

tan β$=\frac{PR}{RS}$

tan β$=\frac{PQ+QR}{RS}$

tan β$=\dfrac{PQ+h}{RS}$

tan  β×RS=PQ+h

$\tan \beta \times \frac{PQ}{\tan \alpha}=PQ+h$

$\frac{ \tan \beta}{\tan \alpha}=\frac{PQ+h}{PQ}$

$\frac{ \tan \beta}{\tan \alpha}=\frac{PQ+h}{PQ}$

$\frac{ \tan \beta}{\tan \alpha}=1+\frac{h}{PQ}$

$\frac{ \tan \beta}{\tan \alpha}-1=\frac{h}{PQ}$

$\frac{ \tan \beta-\tan \alpha}{\tan \alpha}=\frac{h}{PQ}$

$\frac{\tan \alpha}{ \tan \beta-\tan \alpha}=\frac{PQ}{h}$

$PQ=\frac{h\tan \alpha}{ \tan \beta-\tan \alpha}$

मीनार की ऊँचाई ( PR )

PR=PQ+QR

PR=PQ+h

PR$=\frac{h\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}+h$

PR=\frac{h\tan \alpha+h(\tan \beta-\tan \alpha)}{\tan \beta-\tan \alpha}

PR=\frac{h\tan \alpha+h\tan \beta-h\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}

PR=\frac{h\tan \beta}{\tan \beta-\tan \alpha}

Question 49

जमीन पर के किसी बिन्दु P से एक वायुयान का उन्नयन कोण 60° है। 30 सेकेण्ड की उड़ान के बाद उन्नयन कोण 30° हो जाता है । यदि वायुयान $3600 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ की अचर ऊँचाई पर उड़ रहा है तो वायुयान की गति कि.मी./घंटा में ज्ञात कीजिए ।

Sol :

बिन्दु P से वायुयान x मी दूरी तय किया

30 sec बाद तय की गई y

TQ=SR=3600√3 

ΔTPQ में,

tan 60°$=\frac{TQ}{PQ}$

$\sqrt{3}=\frac{3600\sqrt{3}}{PQ}$

PQ=\frac{3600\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

PQ=3600

ΔSPR में,

tan 30°$=\frac{SR}{PR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3600\sqrt{3}}{PR}$

PR=3600√3×√3

PR=3600×3=10800 m

PR=PQ+QR

10800=3600+QR

QR=10800-3600=7200 m

QR=7.2 km

30 sec ⟶$\frac{1}{120}$ hr

वायुयान का चल$=\dfrac{7.2}{\frac{1}{120}}$ km/hr

$=\frac{7.2}{1}\times \frac{120}{1}$

=864 km/hr

Question 50

जमीन पर के किसी बिन्दु P से एक जेट-फाइटर का उन्नमन कोण 60° है । 10 सेकेण्ड की उड़ान के बाद उन्नयन कोण 30° हो जाता है । यदि जेट 432 कि.मी./घंटा की चाल से उड़ रहा है तो वह अचर ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिस पर जेट उड़ रहा है ।

Sol :

जेट फाइटर की ऊँचाई x 

चाल = 432 km/hr

समय=10 sec ⟶$\frac{1}{360}$ hr

चाल =दूरी/समय

$432=\frac{TS}{\frac{1}{360}}$

$TS=\frac{432}{360}$

TS=1.2 km

or 1200 m

TS=QR=1200 m

बिन्दु P से जेट-फाइटर के लंब पाद की प्रारंभिक दूरी ( PQ )

TQ=SR

ΔTPQ में,

tan 60°$=\frac{TQ}{PQ}$

$\sqrt{3}=\frac{SR}{PQ}$

PQ√3=SR

ΔSPR में,

tan 30°$=\frac{SR}{PR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{SR}{PQ+QR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{SR}{PQ+1200}$ [Given : TS=QR]

$\frac{PQ+1200}{\sqrt{3}}=PQ\sqrt{3}$

PQ+1200=PQ√3×√3

PQ+1200=3PQ

1200=3PQ-PQ

1200=2PQ

$PQ=\frac{1200}{2}$

PQ=600 m

SR=PQ√3

SR=600√3 m