KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग ( Some Applications Of Trigonometry ) Exercise 9.1 (Q31-Q40)

 Exercise 9.1

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Question 31

एक मीनार के पाद बिन्दु से एक पहाड़ी का उन्नयन कोण 60° है और पहाड़ी के पाद बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है । यदि मीनार 50 m लम्बी हो, तो पहाड़ी की ऊँचाई क्या होगी ?

Sol :

पहाड़ी की ऊँचाई PQ

पहाड़ी और मीनार के पाद की दूरी RQ

ΔSQR में,

tan 30°$=\frac{50}{RQ}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{50}{RQ}$

RQ=50√3 m....(i)

ΔPRQ में,

tan 60°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PQ}{RQ}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PQ}{50\sqrt{3}}$  [from (i)]

PQ=50×3=150 m

∴पहाड़ी की ऊँचाई ( PQ )=150 m

Question 32

(i) एक नदी के किनारे खड़ा एक आदमी देखता है कि दूसरे किनारे पर ठीक उसके सामने खड़े एक वृक्ष का उन्नति कोण 60° है । जब वह आदमी किनारे से 40 m दूर जाता है तो वृक्ष का उन्नति कोण 30° पाता है। वृक्ष की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।

Sol :

वृऋ की ऊँचाई PQ 

नदी की चौड़ाई QR

ΔPRQ में,

tan 60°$=\frac{PQ}{QR}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PQ}{QR}$

PQ=QR√3...(i)

ΔPSQ में,

tan 30°$=\frac{PQ}{QS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QR+RS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QR+40}$ [Given: RS=40 m]

$\frac{QR+40}{\sqrt{3}}=PQ$....(ii)

From (i) and (ii),

QR+40=QR×√3×√3

QR+40=3QR

40=3QR-QR

2QR=40

$QR=\frac{40}{2}$

QR=20 m

∴नदी की चौड़ाई ( QR )=20 m

PQ=QR√3 [From (i)]

PQ=20√3

∴वृऋ की ऊँचाई ( PQ )=20√3 m

(ii) एक नदी के किनारे पर एक टाँवर लम्बवत् खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे किनारे पर के अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। किनारे पर इस बिन्दु से 30 मीटर दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊँचाई और नदी की चौडाई ज्ञात करें।

Sol :

टावर की ऊँचाई ( PQ )

नदी की चौडाई ( QR )

ΔPRQ में,

tan 60°$=\frac{PQ}{QR}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PQ}{QR}$

PQ=QR√3...(i)

ΔPSQ में,

tan 30°$=\frac{PQ}{QS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QR+RS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QR+30}$ [Given: RS=30 m]

$\frac{QR+30}{\sqrt{3}}=PQ$....(ii)

From (i) and (ii),

QR+30=QR×√3×√3

QR+30=3QR

30=3QR-QR

2QR=30

$QR=\frac{30}{2}$

QR=15 m

∴नदी की चौड़ाई ( QR )=15 m

PQ=QR√3 [From (i)]

PQ=15√3

∴वृऋ की ऊँचाई ( PQ )=15√3 m

Question 33

(i) एक मीनार पर 10 m ऊँचा ध्वजदण्ड खड़ा है । धरती की सतह पर के एक बिन्दु से ध्वज-दण्ड के शिखर और पाद के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें ।

Sol :

मीनार की ऊँचाई ( SQ )

मीनार के पाद से धरती पर स्थित बिन्दु की दूरी ( QR ) 

ΔPQR में,

tan 30°$=\frac{PQ}{QR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QR}$

PQ√3=QR....(i)

ΔPSQR में,

tan 60°$=\frac{SQ}{QR}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{SP+PQ}{QR}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{10+PQ}{QR}$  [Given : SP=10 m]

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{10+PQ}{PQ\sqrt{3}}$ [From (i)]

PQ×√3×√3=10+PQ

3PQ=10+PQ

3PQ-PQ=10

2PQ=10

$PQ=\frac{10}{2}=5$

मीनार की ऊँचाई ( PQ )=5 m

(ii) एक ध्वज-दण्ड एक मीनार पर खड़ा है । मीनार के आधार से d दूरी पर ध्वज दण्ड के शिखर एवं मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः β और ⍺ हैं। सिद्ध कीजिए कि ध्वजदण्ड की उँचाई d(tan β-tan ⍺) है ।

Sol :

ध्वजदंड की उँचाई ( AP )

मीनार की उँचाई ( PQ )

ΔPQR में,

tan ⍺$=\frac{PQ}{QR}$

$\tan \alpha=\frac{PQ}{d}$  [Given : QR=d]

PQ=d tan ⍺ ....(i)

ΔARQ में,

tan β$=\frac{AQ}{QR}$

$\tan \beta=\frac{AQ}{d}$

AQ=d tan β ....(ii)

AP+PQ=d tan β [From (i)]

AP+(d tan ⍺)=d tan β

AP=d tan β-d tan ⍺

AP=d(tan β-tan ⍺)

ध्वजदंड की उँचाई ( AP )=d(tan β-tan ⍺)

(iii) एक उदग्र मीनार क्षैतिज तल पर खड़ा है और इसके शिखर पर h ऊँचाई का एक ध्वजदण्ड है । क्षैतिज तल पर के एक बिन्दु पर ध्वजदण्ड के पाद एवं शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः ⍺ और β हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई $\frac{h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}$

Sol :

मीनार की ऊँचाई ( PQ )

मीनार के पाद से भूमी के बिन्दु के बीच की दूरी ( RQ )

ΔPQR में,

tan ⍺$=\frac{PQ}{RQ}$...(i)

PQ=RQ tan ⍺ ....(ii)

ΔARQ में,

tan β$=\frac{AQ}{RQ}$

tan β$=\frac{AP+PQ}{RQ}$

tan β$=\frac{h+PQ}{RQ}$ [Given: AP=h]

tan β$=\frac{h}{RQ}+\frac{PQ}{RQ}$

tan β$=\frac{h}{RQ}+\tan \alpha$ [From (i)]

tan β-tan ⍺$=\frac{h}{RQ}$

RQ$=\frac{h}{\tan \beta-\tan \alpha}$

[From (ii)]

मीनार की ऊँचाई ( PQ )=RQ tan ⍺

$=\frac{h}{\tan \beta-\tan \alpha}\times \tan \alpha$

$=\frac{h \tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}$

Question 34

क्षैतिज तल के किसी बिन्दु से चर्च स्पात्रा के किसी बिन्दु का उन्नयन कोण 45° है । चर्च की तरफ 30 m जाने पर उन्नयन कोण 60° हो जाता है । चर्च स्पात्रा की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

Sol :

चर्च स्पात्रा की ऊँचाई ( PS )

30 m चर्च की ओर जाने पर अब वह चर्च से RS दूरी पर है।

ΔPSR में,

tan 60°$=\frac{PS}{RS}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PS}{RS}$

PS=RS√3...(i)

ΔPQS में,

tan 45°$=\frac{PS}{QS}$

$1=\frac{PS}{QR+RS}$

$1=\frac{PS}{30+RS}$ [Given : QR=30 m]

30+RS=PS

30+RS=RS√3 [From (i)]

30=RS√3-RS

30=RS(√3-1)

$RS=\frac{30}{\sqrt{3}-1}$

∴चर्च स्पात्रा की ऊँचाई ( PS )

[From (i)]

PS=RS√3

PS$=\frac{30}{\sqrt{3}-1} \times \sqrt{3}$

PS$=\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

PS$=\frac{30\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}$

$PS=\frac{30\times 3+30\sqrt{3}}{3-1}=\frac{90+30\sqrt{3}}{2}$

PS=70.98 m

Question 35

(i) एक हेलीकोप्टर पायलट 1000 m की ऊँचाई से अपने बाँयें और दाँये एक ही ऊँचाई पर उड़ते हुए दो वायुयानों को देखता है, जिनके अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। दोनों वायुयानों के बीच की दूरी ज्ञात करें ।

Sol :

दोनों वायुयानों के बीच की दूरी ( QS )

∠APQ=∠PQR=45° (alternate interior angle)

∠BPS=∠PSR (alternate interior angle)

ΔPQR में,

tan 45°$=\frac{PR}{QR}$

$1=\frac{PR}{QR}$

$1=\frac{1000}{QR}$  [Given: PR=1000 m]

QR=1000 m

ΔPRS में,

tan 60°$=\frac{PR}{RS}$

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{1000}{RS}$ [Given : PR=1000 m]

$RS=\frac{1000}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$RS=\frac{1000\sqrt{3}}{3}$

$RS=\frac{1732}{3}$

दोनों वायुयानों के बीच की दूरी ( QS )

=QR+RS

$=1000+\frac{1732}{3}$

=1000+577.332

=1000+577.332

=1577.332 m

=1577.4 m

(ii) समुद्र तल से 100 m ऊँचे लाइट-हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं । यदि लाइट हाउस के एक ही और एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।

Sol :

दोनों जहाजों के बीच की दूरी RS 

दूसरी जहाज से लाइट हाउस से पाद की दूरी QR

∠PRQ=∠TPR=45°

∠PSQ=∠TPS=30°

ΔPRQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}=\frac{PQ}{QR}$

tan 45°$=\frac{100}{QR}$  [Given: PQ=100]

$1=\frac{100}{QR}$

QR=100

ΔPSQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}=\frac{PQ}{QS}$

tan 30°=\frac{100}{QS}

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{100}{QS}$

QS=100√3

दोनों जहाजों के बीच की दूरी RS 

RS=QS-QR

RS=100√3-100

RS=173.2-100

RS=73.2 m

Question 36

(i) जब सूर्य की ऊँचाई 30° से बढ़कर 45° हो जाती है, तो ताड़ के पेड़ की छाया 12 m से कम हो जाती है। ताड़ के पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

ताड़ के पेड़ की ऊँचाई ( PQ )

बिन्दु R से पेड़ के जड़ की दूरी ( RQ )

ΔPRQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}=\frac{PQ}{RQ}$

tan 45°=\frac{PQ}{RQ}

$1=\frac{PQ}{RQ}$

RQ=PQ....(i)

ΔPSQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}=\frac{PQ}{SQ}$

tan 30°=\frac{PQ}{SR+RQ}

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{12+RQ}$

12+RQ=PQ√3

12+PQ=PQ√3 [(i) से]

PQ√3-PQ=12

PQ(√3-1)=12

$PQ=\frac{12}{\sqrt{3}-1}$

$PQ=\frac{12}{\sqrt{3}-1}\times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

$PQ=\frac{12(\sqrt{3}+1)}{{\sqrt{3}}^2-1^2}$

$PQ=\frac{12(\sqrt{3}+1)}{3-1}$

PQ=6(√3+1)

PQ=6(1.732+1)=6×2.732

PQ=16.392 m

ताड़ के पेड़ की ऊँचाई ( PQ )=16.392 m

(ii) एक लम्बा पेड़ नदी के किनारे उधवर्धार खड़ा है । पेड़ के ठीक सामने नदी के दूसरे किनारे पर एक बिन्दु से पेड़ के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। उसी किनारे पर इस बिन्दु से 20 m पीछे के एक बिन्दु से पेड़ के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। नदी की चौड़ाई और पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

नदी की चौड़ाई ( QR )

पेड़ की ऊँचाई ( PQ )

ΔPRQ में,

tan θ$=\frac{P}{B}=\frac{PQ}{QR}$

tan 60°=\frac{PQ}{QR}

$\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{PQ}{QR}$

QR√3=PQ...(i)

ΔPQS में,

tan θ$=\frac{P}{B}=\frac{PQ}{QS}$

tan 30°=\frac{PQ}{QS}

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QR+RS}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PQ}{QR+20}$  [Given : RS=20 m]

QR+20=PQ√3

QR+20=(QR√3)√3 [From (i)]

QR+20=3QR

20=3QR-QR

20=2QR

QR=10

∴नदी की चौड़ाई ( QR )=10 m

∴पेड़ की ऊँचाई ( PQ )=QR√3

=10√3 m

Question 37

(i) एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 40° हैं। यदि पुल किनारे से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात करें।

Sol :

नदी की चौड़ाई ( QS )

नदी के किनारे के एक बिन्दु से पुल के उस बिन्दु के पाद के पाद की दूरी ( QR )

∠Q=∠APQ=30° (alternate interior angle)

∠S=∠BPS=45°

ΔPQR में,

tan 30°$=\frac{PR}{QR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{QR}$ [Given : PR=3 m]

QR=3√3 m

ΔPRS में,

tan 45°$=\frac{PR}{RS}$

$1=\frac{3}{RS}$ [Given : PR=3 m]

RS=3 m

नदी की चौड़ाई=QR+RS

=3√3+3

=3×1.732+3

=8.196 m

(ii) एक 100 m चौड़ी नदी के मध्य में एक छोटा द्वीप है । द्वीप में एक लम्बा पेड़ है। P और Q दो बिन्दुएँ नदी के दोनो किनारो पर ठीक आमने-सामने के बिन्दुएँ है और पेड़ इन बिन्दुओं के सीध में है। यदि P और Q पर पेड़ के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° है, तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

पेड़ की ऊँचाई (PR)

Q बिन्दु से पेड़ के पाद की दूरी ( QR )

ΔPRQ में,

tan 30°$=\frac{PR}{QR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PR}{QR}$

QR=PR√3

ΔPRS में,

tan 45°$=\frac{PR}{RS}$

$1=\frac{PR}{RS}$

RS=PR

QR+RS=100

PR√3+PR=100

PR(√3+1)=100

$PR=\frac{100}{(\sqrt{3}+1)}\times \frac{(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)}$

$PR=\frac{100(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}$

$PR=\frac{100(\sqrt{3}-1)}{3-1}$

PR=50(√3-1)

PR=50(1.732-1)

PR=50×0.732=36.6 m

पेड़ की ऊँचाई (PR)=36.6 m

(iii) समुद्र के मध्य में स्थित एक लाइट हाउस की ओर दो जहाज विपरीत दिशाओ से आते हैं । दोनों जहाजों से लाइट-हाउस की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Sol :

लाइट हाउस की ऊँचाई ( PR )

जहाज से लाइट हाऊस के पाद की दूरी ( QR )

ΔPRQ में,

tan 30°$=\frac{PR}{QR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PR}{QR}$

QR=PR√3

ΔPRS में,

tan 45°$=\frac{PR}{RS}$

$1=\frac{PR}{RS}$

RS=PR

QR+RS=100

PR√3+PR=100

PR(√3+1)=100

$PR=\frac{100}{(\sqrt{3}+1)}\times \frac{(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)}$

$PR=\frac{100(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2-1^2}$

$PR=\frac{100(\sqrt{3}-1)}{3-1}$

PR=50(√3-1)

PR=50(1.732-1)

PR=50×0.732=36.6 m

लाइट हाउस की ऊँचाई ( PR )=36.6 m

(iv) एक लाइट हाउस से इसके विपरीत दिशाओं में स्थित दो जहाजों के कोण क्रमशः 30° और 45° है। यदि लाइट हाउस की ऊँचाई 100 m हो, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए यदि दोनों जहाजों को मिलाने वाले रेखा हाउस के पाद से जाती है।

Sol :

दोनों जहाजों के बीच की दूरी ( QS )

जहाज से लाइट हाउस के पाद के दूरी ( QR )

∠A=∠EDA=30° (alternate interior angle)

∠C=∠FDC=45° (alternate interior angle)

ΔPRQ में,

tan 30°$=\frac{PR}{QR}$ 

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{100}{QR}$  [Given : PR=100 m]

QR=100√3 m

ΔPRS में,

tan 45°$=\frac{PR}{RS}$

$1=\frac{100}{RS}$ [Given : PR=100 m]

RS=100

दोनों जहाजों के बीच की दूरी ( QS )

QS=QR+RS

=100√3+100

=173.2+100

=273.2 m

Question 38

एक 30 m लम्बी मूर्ति 15 m ऊँचे स्तम्भ पर खड़ी है । मूर्ति द्वारा स्तम्म के आधार से 15√3 m दूर स्थित बिन्दु पर निर्मित कोण का मान डिग्री में ज्ञात कीजिए ।

Sol :

मूर्ति निर्मत कोण θ

tan θ$=\frac{P}{B}=\frac{RQ}{PQ}$

tan θ$=\frac{15\sqrt{3}}{45}$

tan θ$=\frac{1}{\sqrt{3}}$

tan θ=tan 30°

θ=30°

Question 39

एक सीढ़ी एक भवन से लगी है और सीढ़ी के शिखर का उन्नमन कोण 60° है सीढ़ी को पलटकर गली के दूसरे तरफ भवन से लगा दिया जाता है । इस स्थिति में सीढ़ी के शिखर का उन्नयन कोण 45° हों जाता है । यदि सीढ़ी की लम्बाई 26 m हो, तो गली की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।

Sol :

गली की चौड़ाई ( SQ )

एक भवन के पाद से गली में स्थित बिन्दु R की दूरी ( SR )

ΔTRS में,

cos 60°$=\frac{SR}{TR}$

$\frac{1}{2}=\frac{SR}{26}$ [Given : TR=26 m]

$SR=\frac{26}{2}$

SR=13 m

ΔPRQ में,

cos 45°$=\frac{RQ}{PR}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{RQ}{26}$ [Given : PR=26 m]

$RQ=\frac{26}{\sqrt{2}}$

RQ=13√2 m

गली की चौड़ाई ( SQ )

SQ=SR+RQ

=13+13√2

=13+13×1.414

=31.38

=31.4 m

Question 40

समान ऊँचाई के दो स्तम्भ 64 m की दूरी पर हैं । उनके पादों को मिलाने वाली रेखा के किसी बिन्दु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं ।  स्तंभों  की ऊँचाई ज्ञात करें ।

Sol :

प्रत्येक स्तंभों की ऊँचाई =TS=PQ=x 

 स्तंभों के पाद से बिन्दु की दूरी क्रमशः SR और RQ

ΔSRT में,

tan 30°$=\frac{TS}{SR}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{TS}{SR}$

SR=TS√3

या SR=x√3

ΔPRQ में,

tan 60°$=\frac{PQ}{RQ}$

$\sqrt{3}=\frac{PQ}{RQ}$

$RQ=\frac{PQ}{\sqrt{3}}$

या $RQ=\frac{x}{\sqrt{3}}$

SQ=64 m

SR+RQ=64

x√3+$\frac{x}{\sqrt{3}}$=64

$\frac{3x+x}{\sqrt{3}}=64$

4x=64√3

$x=\frac{64\sqrt{3}}{4}$

x=16√3 m

स्तंभों  की ऊँचाई (x)=16√3 m